Lastfallstudien hinsichtlich zyklischer Beanspruchungen nach exakter
Fließzonentheorie und Anwendung einer vereinfachten Fließzonentheorie
auf das Bree-Rohr mit dem FEM-Programm ANSYS
DIPLOMARBEIT
FACHHOCHSCHULE LAUSITZ
FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN
eingereicht von : Holger Huhn, Matr. 93 BI
Betreuer : Prof. Dr.-Ing. H. Hübel
Cottbus, Februar 1998
Das vorliegende Werk ist auf der Grundlage der neuen amtlichen Rechtschreibregeln verfasst.
Fachhochschule Lausitz
Fachbereich Bauingenieurwesen
Aufgabenstellung zur Diplomarbeit
für Huhn, Holger Matr. 932358
Thema: Lastfallstudien hinsichtlich zyklischer Beanspruchungen nach exakter
Fließzonentheorie und Anwendung einer vereinfachten Fließzonen-
theorie auf das Bree-Rohr mit dem FEM-Programm ANSYS
Leistungen / Bearbeitungsschwerpunkte:
• Lastfallstudien hinsichtlich der Kombinationen aus konstanten und
zyklischen Belastungen am Zwei-Stab-System nach exakter Fließzo-
nentheorie
• Untersuchung des trilinearen Werkstoffmodells am Zwei-Stab-System
• Vergleich der exakten mit einer vereinfachten Fließzonentheorie
bezüglich der Fließzonen- und Dehnungsberechnung am Bree-Rohr
bei monotoner Belastung
Ausgabetermin : 21. November 1997
Abgabetermin : 13. Februar 1998
Betreuer : Prof. Dr.-Ing. H. Hübel
(Unterschrift des Betreuers)
H. Huhn / Diplomarbeit / Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung 5
2. Bezeichnungen 6
3. Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter Fließzonentheorie 7
3.1. Ratcheting-Typen 7
3.2. Das Zwei-Stab-System 8
3.3. Werkstoffmodelle für das Zwei-Stab-System 9
3.4. Belastungsannahmen für das Zwei-Stab-System 16
3.5. Parametrisierung 20
3.6. Graphische Ermittlung zu Ratcheting für den Präzedenzfall A
b
23
3.7. Nummerische Lösungsansätze über die Finite-Element-Methode
und FEM-Programm ANSYS 27
3.7.1. Was ist die Finite-Element-Methode? 27
3.7.2. Das FEM-Programm ANSYS 29
3.8. Auswertungsstrategien für die nummerische Lösung 30
3.9. Lastfallstudien nach der Finite-Element-Methode 31
3.9.1. Fall A: konstante Primärspannung - zyklische Sekundärspannung 32
3.9.1.1. Fall A
b
: bilineares Wekstoffverhalten 32
3.9.1.2. Fall A
b,Vord.
: bil. Werkstoffverhalten und Vordehnung 36
3.9.1.3. Fall A
t
: trilineares Werkstoffverhalten 42
3.9.2. Fall B: zyklische Primärspannung - konstante Sekundärspannung 51
3.9.3. Fall C: zyklische Primärspannung - zyklische Sekundärspannung 54
3.9.3.1. Fall C
1
: Primär- u. Sekundärspannung sind phasengleich 55
3.9.3.2. Fall C
2
: Sekundärspannung um ¼ Phase verschoben 60
3.9.3.3. Fall C
3
: Sekundärspannung um ½ Phase verschoben 68
3.9.3.4. Fall C
4
: Primär- und Sekundärspannung alternieren 71
4. Anwendung einer vereinfachten Fließzonentheorie auf das Bree-Rohr 72
4.1. Das Bree-Modell 72
4.2. Werkstoffverhalten bei dreiachsigen Spannungszustand und monotoner
Belastung 73
4.3. Vereinfachte Fließzonentheorie nach der Zarka-Methode 78
4.3.1. Funktionsweise der Zarka-Methode 78
4.3.2. Anwendung der Zarka-Methode auf eine diskretisierte Struktur 79
4.4. Simulation der Rohrstruktur mittels des ANSYS-Elementtyps Plane 42 80
4.5. Belastungsberechnungen für die Eingabe der Belastungsparameter 82
4.6. FE-Analysen am Bree-Rohr bei monotoner und zyklischer Belastung 84
4.6.1. Fließzonen nach Zarka bei monotoner Belastung 84
4.6.2. Dehnungen nach Zarka bei monotoner Belastung 89
4.6.3. Dehnungsanalyse nach exakter Fließzonentheorie bei zyklischer
Belastung 98
5. Zusammenfassung und Ausblick 103
6. Schrifttum 104
7. Anhang 106
8. Erklärung 124
H. Huhn / Diplomarbeit / Einleitung
5
1. Einleitung
Der entscheidende Wandel im Laufe der letzten drei Jahrzehnte besteht in der Erkennt-
nis, dass die Natur, wie der Wissenschaftler Ian Stewart es formuliert hat, „erbar-
mungslos nichtlinear“ ist [8]. Nichtlineare Phänomene beherrschen die unbelebte Welt
weitaus mehr, als die Wissenschaft geglaubt hatte. Das in diesem Jahrhundert entdeckte
Phänomen Ratcheting ist eines solcher nichtlinearen Phänomene. In der Praxis begegnet
man diesem Phänomen etwa bei der Betreibung von kerntechnischen Anlagen. Hierbei
kommt es zu zyklisch-überelastischen Beanspruchungen in den Komponenten (z.B.
Rohrstrukturen) der Anlage. Das Phänomen Ratcheting entsteht grob gesagt auf
Grundlage des nichtlinearen Materialverhaltens und einer oder mehrerer schwellend
ablaufenden Beanspruchungen, deren Zusammenwirken zu einer Zunahme der elas-
tisch-plastischen Dehnungen von Zyklus zu Zyklus führt.
Ziel der hier vorliegenden Arbeit ist es, anhand eines gewählten Erklärungsmodells das
Phänomen Ratcheting detailliert zu erklären und den Einfluss unterschiedlich schwel-
lend ablaufender Beanspruchungen zu untersuchen. Weiterhin wird die Anwendbarkeit
einer vereinfachten Fließzonentheorie auf eine Rohrstruktur (Bree-Rohr) untersucht, die
das vorliegende nichtlineare Problem in ein Iterationsverfahren linearer Analysen über-
führt. Hierbei handelt es sich um die Zarka-Methode, die hier jedoch nur unter dem As-
pekt der monotonen Beanspruchung angesetzt wird. Motivation für die hier vorliegende
Arbeit gibt das derzeit von Professor Hübel durchgeführte Forschungsvorhaben SR
2226, welches auf die Präzisierung des kerntechnischen Regelwerkes hinsichtlich des
Ratcheting-Nachweises abzielt.
Das zur Verfügung stehende mathematische Werkzeug für die Lösung der in dieser
Arbeit gestellten Aufgaben ist die Finite-Element-Methode. Diese Methode, auf die
noch später eingegangen werden soll, wurde durch freundliche Unterstützung der Fach-
hochschule Lausitz in Form des kommerziellen FE-Programms ANSYS zur Verfügung
gestellt.
H. Huhn / Diplomarbeit / Bezeichnungen
6
2. Bezeichnungen
σ
σ
σ
i ij V
, , Hauptspannungen, Spannungskomponenten, Vergleichsspannung (Mises)
′
′
σ
σ
i ij
, deviatorische Hauptspannungen, deviatorische Spannungskomponenten
ξ
i
Hauptrückspannungen (Translationstensoren)
ρ
i
Hauptrestspannungen
σ
0
Primärspannung
σ
t
Sekundärspannung
σ
yi
Fließgrenzen
ε
ε
ε
i ij V
, , Hauptdehnungen, Dehnungskomponenten, Vergleichsdehnung (Mises)
ε
y
elastische Grenzdehnung
ε
el.
elastische Dehnung
ε
pl.
plastische Dehnung
ε
th
thermische Dehnung
ε
el pl. .−
elastisch-plastische Dehnung
ε
ε
0 0
,
,i
Vordehnung, Vordehnungskomponenten
γ
ij
Gleitungskomponenten (Winkeländerung)
E
Elastizitätsmodul
E
ti
Verfestigungsmoduln
C
ti
plastische Verfestigungsmoduln
ν
ν
, Querdehnungszahl, effektive Querdehnungszahl
V V
e p
, elastische bzw. plastische Teilvolumina des Bauteils
t
s
Temperatur
∆
T
Temperaturgradient
α
α
t i
, Wärmedehnzahl, modifizierte Wärmedehnzahlen
t
Zeit
n
Zyklenzahl
.
.
.
.f el
fiktiv elastisch berechnete Größe
.
.
.
*
modifizierte Materialkonstanten
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
7
3. Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter Fließ-
zonentheorie
3.1. Ratcheting-Typen
Die Untersuchungen am Erklärungsmodell (Zwei-Stab-System) sowie an der Rohr-
struktur (Bree-Rohr, siehe Abschnitt 4) sind dem Ratcheting-Typ A unterzuordnen.
Neben dem Ratcheting-Typ A steht der Ratcheting-Typ B [18]. Der Typ A benötigt im
Gegensatz zum Typ B zum Entstehen des Phänomens Ratcheting zuzüglich zur zyk-
lischen Beanspruchung entweder eine konstant oder eine zyklisch primär wirkende Be-
lastung. Die Abbildungen 1 und 2 zeigen zwei elementare Modelle hinsichtlich der
Ratcheting-Typen A und B.
Der Ratcheting-Typ B wird derzeit in einer Arbeit von Olbrich untersucht. Die in
Abbildung 1 und 2 vorgestellten Modelle tragen weniger praktische Bedeutung sondern
dienen auf Grund ihrer idealen Struktur ausgezeichnet der Erklärung des hier unter-
suchten Phänomens Ratcheting.
starrer Körper starrer Körper
Stab 1 Stab 2 Stab 1
Stab 2
Stab 3
T T
3
T
2
T
1
zyklisch
thermische
Dehnung
therm. Dehnungen für eine Periode t
0
:
T
1
( 0 < t ≤
≤≤
≤ 1/3 t
0
)
T
1
( 1/3 t
0
< t ≤
≤≤
≤ 2/3 t
0
)
T
1
( 2/3 t
0
< t
≤
≤≤
≤
t
0
)
P
P = konstant
Zwei-Stab-System
Drei-Stab-System
Abbildung 1: Ratcheting-Typ A Abbildung 2: Ratcheting-Typ B
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
8
3.2. Das Zwei-Stab-System
Die Erklärung und Untersuchung des Phänomens „Struktur-Ratcheting“ gelingt am
besten an einer sehr einfachen Struktur mit den zur Entstehung des Phänomens not-
wendigsten Randbedingungen und mit stark simplifizierten Materialeigenschaften und
Lasteinwirkungen. Aus Voruntersuchungen ist bekannt, dass im einfachsten Fall eine
einachsige Beanspruchung angenommen werden kann [1]. Der Fachwerk-Stab bietet
hier den idealen Ansatz. Das einfachste Ratcheting-Modell führt zum Zwei-Stab-Sys-
tem, bestehend aus zwei miteinander gekoppelten Fachwerkstäben (siehe Abbildung 3).
Das Prägnante an diesem System ist die strukturelle Kopplung der beiden Fach-
werkstäbe mit Hilfe eines starren Körpers. Diese Knotenkopplung ermöglicht in diesem
System das sogenannte „Struktur-Ratcheting“. Der starre Körper bewirkt in beiden
Stäben die gleiche Längenänderung. Die Querschnitte in den Stäben werden gleich
starrer Körper
Belastung:
- Temperatur
(konstant oder zyklisch)
- Vordehnung
Querschnitte:
A
1
=A
2
Belastung:
Kraft (konstant oder zyklisch)
S
1
S
2
K
1
K
3
K
2
K
4
Länge
Abbildung 3: Zwei-Stab-System
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
9
gesetzt. Die Beanspruchungen werden durch die Kraft über die Querschnitte als
Primärspannung und im Stab 1 durch Temperatur am gesamten Stab als Sekun-
därspannung aufgetragen. Je nach Lastfall wird eine Vordehnung im Stab 1 be-
rücksichtigt.
3.3. Werkstoffmodelle für das Zwei-Stab-System
Wie schon im Abschnitt 3.2. erwähnt, werden für das Werkstoffverhalten vereinfachte
Modelle verwendet. Das Phänomen „Ratcheting“ ist weitgehend aus dem Kern-
kraftwerk- und Anlagenbau bekannt. Somit gibt die Praxis den für das Werkstoffmodell
in Ansatz zu bringenden Werkstoff vor. Grundlage bildet der Edelstahl, der sich bis zur
Höchstzugspannung durch monotones Verhalten im Spannungs-Dehnungs-Zusammen-
hang auszeichnet. Abbildung 4 zeigt eine Spannungs-Dehnungs-Linie im einachsigen
Zugversuch.
Mathematisch betrachtet ergibt sich aus der Spannungs-Dehnungs-Linie eine kompli-
zierte Funktion in Abhängigkeit von der Spannung σ und Dehnung ε. Eine solche
Funktion als Materialeigenschaft würde jedoch den Rechenaufwand, ob Handrechnung
(für einfache Strukturen) oder Computerrechnung (für komplexe Strukturen), drastisch
erhöhen. Wie oben erwähnt, werden also vereinfachte Rechenmodelle verwendet,
ε
εε
ε
σ
σσ
σ
σ
y
ε
y
σ
B
σ
H
ε
B
σ
H
Höchstzugspannung
σ
B
Bruchspannung
σ
y
Streckgrenze
ε
B
Bruchdehnung
ε
G
Betrachtungsgrenze
ε
y
elastische Dehngrenze
ε
G
verfestigender Bereich
elastischer Bereich
Betrachtungsbereich
Abbildung 4: verzerrte Spannungs-Dehnungs-Linie eines Edelstahls
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
10
welche die tatsächliche Funktion ersetzen, und damit den Rechenaufwand auf ein güns-
tiges Maß reduzieren. Wie in Abbildung 4 dargestellt, wurden bei Materialuntersu-
chungen, unter einmaliger monotoner Be- und Entlastung unterhalb oder bis zum Bruch,
zwei unterschiedliche Bereiche entdeckt:
• elastischer Bereich (klassisch: Hooke’sche Gerade und Gesetz)
Stähle zeigen als kristalline Stoffe bei Zug- oder Druckbeanspruchung bis zu
einer bestimmten Spannung σ
y
(Streckgrenze) ein rein elastisches Verhalten, das
durch die im Kristallgitter herrschenden Anziehungskräfte bestimmt ist. Es treten
nur Gitterverzerrungen in den Kristalliten auf, die sich bei Entlastung voll
zurückbilden [2].
• verfestigender Bereich (plastisches Fließen)
Bei kristallinen Stoffen tritt eine nennenswerte bleibende Verformung erst
oberhalb der Streckgrenze σ
y
auf, die durch die ersten größeren Gleitungen und
Versetzungen im Kristallgitter oder zwischen den Kristallen bestimmt ist. Dabei
nehmen die Verformungen zu, ohne dass die Spannung wesentlich erhöht
werden muss. Mit Abnahme der Gleitmöglichkeiten verfestigt sich der Stoff,
wodurch ein weiteres Fließen bei höheren Spannungen verhindert wird [2].
Bei der Wahl der im folgenden benutzten Werkstoffparameter ist zu beachten, dass die
ingenieurtechnischen Regelwerke Grenzwerte für örtliche Dehnungen festlegen. Eine
Betrachtungsgrenze ε
G
kann danach auf 5% Dehnung festgelegt werden, obwohl die
Dehnungsreserven des Stahls das 300- bis 400-fache der elastischen Dehngrenze bis
zum Bruch betragen. Der Aufbau eines geeigneten Rechenmodells erfolgt über den
klassischen Ansatz, dem Hooke’schen Elastizitätsgesetz, und der Weiterführung eines
oder mehrerer Verfestigungsgesetze innerhalb des Betrachtungsbereichs. Eine Mög-
lichkeit zu deren Beschreibung besteht im Aneinanderreihen von linearen Funktionen,
die durch einen von Funktion zu Funktion flacher werdenden Anstieg charakterisiert
werden und die damit den Effekt der Verfestigung simulieren. Diese so entstandenen
Werkstoffmodelle werden als „multilineare Werkstoffmodelle“ bezeichnet. Die Abbil-
dungen 5 und 6 zeigen zwei Varianten, die in den nachstehenden Lastfalluntersuchung-
en zur Anwendung kommen. Das Elastizitätsmodul E beschreibt den Anstieg des elas-
tischen Bereiches und die Tangentenmoduln E
ti
beschreiben den Anstieg des Verfesti-
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
11
gungsbereiches. Diese Anstiegsmoduln können in ihren Bereichen wie folgt definiert
werden:
E bzw E i
ti
. ; , , ...= =
∆σ
∆ε
1 2
Bei Entlastung aus dem Verfestigungsbereich oder dem elastischen Bereich tritt rein
elastisches Verhalten auf, welches ebenfalls durch den Elastizitätsmodul E beschrieben
wird. Die Entlastung erfolgt bei spannungsgesteuerter Belastung bis zum Null-
Spannungszustand. Die auf diesem Weg zurückgelegte Dehnung wird elastische Deh-
nung ε
el
genannt. Die bleibende Verformung aus ε - ε
el
nennt man plastische Dehnung
ε
pl
. Somit können für das bilineare [4] bzw. trilineare Werkstoffmodell bei monotoner
Be- und Entlastung im Zugbereich folgende Gesetze formuliert werden:
ε
ε
ε
=
+
el pl
mit
ε
σ
el
E
= und
ε
pl
=
( )
0
1
1
1
2 1
2 1
1
2
2
2
,
,
,
wenn
C
wenn
C C
wenn
y
y
y y
y y y
y
σ σ
σ σ
σ σ σ
σ σ σ σ
σ σ
≤
−
> ≥
−
+
−
≥
.
σ
σσ
σ σ
σσ
σ
ε
εε
ε ε
εε
ε
σ
y1
σ
y1
σ
y2
E
E
E
t1
E
t1
E
t2
ε
pl
ε
el
ε
pl
ε
el
∆σ
∆ε
E
E
Abbildung 5: bilineares Werkstoffmodell Abbildung 6: trilineares Werkstoffmodell
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
12
Hierbei sind C
i
die plastischen Verfestigungsmoduln, welche in einem modifizierten
plastischen Werkstoffmodell dargestellt werden können (siehe Abbildung 7).
Diese plastischen Verfestigungsmoduln können mit Hilfe der Rheologie, bei der die
Erscheinungen des Fließens fester Systeme unter Einwirkung äußerer Kräfte untersucht
werden [3], hergeleitet und wie folgt definiert werden [6]:
C
E E
E E
E E
t
t
t1
1
1
1
0=
⋅
−
≤ ≤;
C
E E
E E
E E
t
t
t t2
2
2
2 1
0=
⋅
−
≤ ≤; .
Einen Sonderfall stellt die Bedingung E
t1
= 0 dar. Hierbei entsteht ein linear elastisch-
ideal plastisches Werkstoffverhalten, welches die Grundlage für die Fließgelenktheorie
vorgibt. Das linear elastisch-ideal plastische Werkstoffverhalten wurde für das Zwei-
Stab-System durch die FE-Analysen von Glede [1] ausreichend behandelt.
Das bisher beschriebene Materialverhalten, abgeleitet aus dem einachsigen Zugversuch,
ist jedoch für die Untersuchung am Zwei-Stab-Modell noch nicht ausreichend. Die Vor-
untersuchungen zeigen, dass im Zusammenspiel der Eigenschaften des Systems und der
Belastungen, Druckspannungen in den Fachwerkstäben erzeugt werden. Da bisher nur
die Entstehung der bleibenden plastischen Dehnung bei einem Zugversuch eines
σ
σσ
σ
ε
εε
ε
pl
σ
y1
C
1
σ
y2
C
2
Abbildung 7: plastische Verfestigungsmoduln im modifizierten plastischen Werkstoffmodell
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
13
Probekörpers betrachtet wurde, ist also das Verhalten des Werkstoffes auch im Druck-
spannungsbereich zu prüfen. Nun stellen sich viele Fragen:
Wie verhält sich das Material bei reiner Schwellbeanspruchung oder mit Vorspannung
im Zug- und Druckbereich? Oder, wie verhält sich das Material bei Wechselbeanspru-
chungen mit oder ohne Vorspannung?
Bei den hier betrachteten Stählen wurde beobachtet, dass der sogenannte Bauschinger-
Effekt auftritt. Dieser Bauschinger-Effekt wird technisch bei der Kaltverformung der
Metalle genutzt und wird wie folgt umschrieben:
Ein über die Streckgrenze belasteter und wieder entlasteter Probekörper verhält sich bei
einer zweiten Belastung zunächst elastisch und beginnt erst zu fließen, wenn er die
Größe der ersten Belastung wieder erreicht hat (Abbildung 8 links). Die Fließgrenze
erhöht sich noch, wenn man zwischen Ent- und Zweitbelastung einige Zeit verstreichen
lässt [2] (die Erhöhung der Fließgrenze wird hier bei den Untersuchungen am Zwei-
Stab-System aus Vereinfachungsgründen nicht angesetzt). Der vorweggenommene Ver-
formungsanteil fehlt dann jedoch im Bruchzustand, das heißt das Metall ist nicht mehr
so verformungsfähig. Wird der Probekörper bei der zweiten Beanspruchung ent-
sprechend der schematischen Darstellung in Abbildung 8 rechts mit umgekehrten Vor-
zeichen (Druckspannung) belastet, so wird die Streckgrenze um den sonst gewonnenen
Betrag ∆σ
y
vermindert, das heißt das Fließen tritt schon vor der jungfräulichen Fließ-
grenze ein [2]. Der dabei zurückgelegte elastische Spannungsbereich beträgt zwei mal
den Betrag der jungfräulichen Streckgrenze. Das gleiche Verhalten zeigt sich beim Ent-
lasten aus dem Druckspannungsbereich und dem darauf folgenden Belasten im Zug-
spannungsbereich. Bei alternierenden Zug- und Druckspannungen des gleichen Betra-
ges entwickelt sich eine sogenannte Spannungs-Dehnungs-Hysterese. Sind die Beträge
der wiederkehrenden Spannungen unterschiedlich, dann verschiebt sich die Hysterese
(siehe Abbildung 9).
Eine Hysterese kann man auch erklären als das Zurückbleiben einer Wirkung hinter dem
jeweiligen Stand der sie bedingenden Spannung [3].
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
14
σ
σσ
σ
σ
σσ
σ
ε
εε
ε
ε
εε
ε
σ
y1
σ
y1
−σ
y1
−σ
−σ−σ
−σ
−ε
−ε−ε
−ε
2σ
y1
∆σ
y1
∆σ
y1
∆σ
y1
zeitabhängige Erhöhung
der Fließgrenze
Abbildung 8: Bauschinger-Effekt und Spannungs-Dehnungs-Hysterese
σ
σσ
σ
ε
εε
ε
σ
y1
−σ
y1
−σ
−σ−σ
−σ
−ε
−ε−ε
−ε
2σ
y1
∆σ
y1
∆σ
y1
Abbildung 9: Entwicklung von Spannungs-Dehnungs-Hysteresen
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
15
Das auf dem Bauschinger-Effekt basierende Materialverhalten wird durch das
kinematische Verfestigungsgesetz erfasst. Das heißt, die Verfestigungsgrenze (Fließ-
grenze) ist verschiebbar (beweglich; kinematisch). Dieses Gesetz ist gültig für alle
multilinearen Werkstoffmodelle, wobei die weiteren Verfestigungsgrenzen nach Ab-
schluss der Jungfräulichkeit und gegenläufiger Belastung nach dem Betrag 2•(σ
yi+1
-σ
yi
)
(i = 1, 2, 3, ...) zur vorherigen Verfestigungsgrenze auftreten.
Damit ist das Verhalten des Materials im einachsigen Spannungs-Dehnungs-Zustand
zum Zwecke der Erklärung und Untersuchung des Phänomens Ratcheting ausreichend
dargelegt. Hinweisend ist zu beachten, dass eine sogenannte isotrope Verfestigung aus
dem realen Materialverhalten bekannt ist, jedoch hier nicht berücksichtigt wird, da die
kinematische Verfestigung die dominierende Rolle spielt [5].
Der gleiche Materialverhaltensansatz ist auch für die dehnungsgesteuerten Belastungen
(z.B. Temperatur) gültig. Zwischen der Temperaturänderung ∆t
s
in K und der Wärme-
dehnung ε
th
soll ein vereinfachter linearer Zusammenhang angenommen werden. Unter
Verwendung eines Proportionalitätsfaktors α
t
in K
-1
lässt sich dieser Zusammenhang
formulieren [7]:
ε α
th
t
s
t=
∆
.
Dieser Proportionalitätsfaktor wird Wärmedehnzahl genannt und beträgt für Stahl im
Allgemeinen etwa [7]: α
t
= 1,2 e-5 K
-1
.
Da das Zwei-Stab-Modell rein einachsiger Beanspruchung ausgesetzt ist, wird der Quer-
dehnungszahl µ keine Bedeutung beigemessen.
Die für die Berechnung des Zwei-Stab-System zur Anwendung kommenden Werkstoff-
modelle lassen sich wie folgt bezeichnen:
• bilineares Werkstoffmodell mit linear kinematischer Verfestigung
(kurz: bilineares Werkstoffmodell)
• trilineares Werkstoffmodell mit bilinear kinematischer Verfestigung
(kurz: trilineares Werkstoffmodell).
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
16
3.4. Belastungsannahmen für das Zwei-Stab-System
Der bisher am Zwei-Stab-System dargestellte Ratcheting-Belastungsfall, untersucht in
den FE-Analysen von Glede [1], beruht auf einer konstanten Primärspannung (re-
sultierend aus der am starren Körper angesetzten Kraft) und einer zyklischen Sekundär-
spannung (infolge einer im Stab 1 erzeugten Temperatur). Diese beiden Spannungen
wirken gleichzeitig. Ihr zeitliches Auftreten kann in Belastungshistogrammen gleicher
Zeitachsen übereinander dargestellt werden. Abbildung 10 zeigt hierzu einen praxis-
nahen Belastungsfall, der im Zusammenwirken mit den Materialeigenschaften und den
vorliegenden Strukturbedingungen Ratcheting erzeugen kann:
Nochmals, wie schon im Abschnitt 3.2. vorgemerkt, werden Vereinfachungen für die
Klärung des Phänomens Struktur-Ratcheting nötig. Die Idealisierung des in Abbildung
10 dargestellten Belastungsfalls führt zum allgemeinen Ratcheting-Präzedenzfall (siehe
Abbildung 11). Hierbei wird die fiktiv elastisch berechnete Primärspannung σ
0
vom Be-
lastungsanfang bis zum Belastungsende konstant angesetzt. Die Sekundärspannung σ
t
,
gleichfalls fiktiv elastisch berechnet, wird im gleichen Zeitgeschehen durch periodisch
ablaufende Spannungszustände in exakt definierten Zyklen bestimmt.
σ
σσ
σ
monotone Primärspannung
t
zyklische Sekundärspannung
σ
σσ
σ
t
Zeitsprung
Abbildung 10: praxisnaher Belastungsfall in Histogrammdarstellung
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
17
Diese regelmäßig wiederkehrende Belastung nennt man zyklische Belastung. Dieser
Präzedenz-Belastungsfall wird als Fall A bezeichnet. In den nachstehenden FE-Analy-
sen wird der Fall A variiert, indem zusätzlich im Stab 1 eine Vordehnung eingebracht
wird. Erweiternd wird der Fall A unter Ansatz des trilinearen Werkstoffverhaltens
untersucht. Gledes Analysen [1] beschränkten sich auf den Ansatz des bilinearen Mate-
rialverhaltens und werden hier als Fall A
b
bezeichnet. Im Fall B werden die Belastungs-
eigenschaften ausgetauscht, indem die Primärspannung zyklisch und die Sekundär-
spannung konstant angenommen wird. Unter dem Fall C werden nur zyklische Belas-
tungen bei bestimmten Phasenverschiebungen untersucht. Der Fall B und C beschränkt
sich nur auf den Ansatz des bilinearen Materialverhaltens. Die gesamt untersuchten Be-
lastungsfälle wären wie folgt zu benennen:
• Fall A: konstante Primärspannung - zyklische Sekundärspannung
• Fall A
b
: bilineares Werkstoffverhalten [1] (Abb.12)
• Fall A
b,Vord.
: bil. Werkstoffverhalten und Vordehnung (Abb. 13)
• Fall A
t
: trilineares Werkstoffverhalten (Abb. 12)
σ
σσ
σ
konstante Primärspannung
t
zyklische Sekundärspannung
t t
σ
σσ
σ
σ
0
σ
t
Zeitsprung
Ein Zyklus
Abbildung 11: Ratcheting-Präzedenzbelastungsfall
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
18
• Fall B: zyklische Primärspannung - konstante Sekundärspannung
(bilineares Werkstoffverhalten, Abb. 14)
• Fall C: zyklische Primärspannung - zyklische Sekundärspannung
(bilineares Werkstoffverhalten)
• Fall C
1
: Primär- und Sekundärspannung sind phasengleich (Abb. 15)
• Fall C
2
: Sekundärspannung um ¼ Phase verschoben (Abb. 16)
• Fall C
3
: Sekundärspannung um ½ Phase verschoben (Abb. 17)
• Fall C
4
: Primär- und Sekundärspannung alternieren (Abb. 18)
σ
σσ
σ
konstante Primärspannung
t
zyklische Sekundärspannung
σ
σσ
σ
σ
0
σ
t
Zeitsprung
t
Abbildung 12: Fall A
b
und A
t
: konstante Primärspannung - zyklische Sekundärspannung
σ
σσ
σ
konstante Primärspannung
t
zyklische Sekundärspannung
t
σ
σσ
σ
σ
0
σ
t
Zeitsprung
t
Spannung aus Vordehnung
σ
ε
Abbildung 13: Fall A
b,Vord.
: konst. Primärspannung - zykl. Sekundärspannung mit Vordehnung
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
19
σ
σσ
σ
zyklische Primärspannung
t
konstante Sekundärspannung
σ
σσ
σ
σ
0
σ
t
Zeitsprung
t
Abbildung 14: Fall B: zyklische Primärspannung - konstante Sekundärspannung
σ
σσ
σ
zyklische Primärspannung
t
zyklische Sekundärspannung
σ
σσ
σ
σ
0
σ
t
Zeitsprung
t
Abbildung 15: Fall C
1
: zyklische Primär- und Sekundärspannung, phasengleich
σ
σσ
σ
zyklische Primärspannung
t
zyklische Sekundärspannung
σ
σσ
σ
σ
0
σ
t
Zeitsprung
t
Abbildung 16: Fall C
2
: zyklische Primär- und Sekundärspannung, ¼ Phase verschoben
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
20
3.5. Parametrisierung
Um das Verhalten des Zwei-Stab-Systems bei verschiedenem Materialverhalten und
Beanspruchungszuständen zu studieren, ist es notwendig, die das Strukturverhalten be-
einflussenden Größen konstant festzulegen oder in einem gewissen Zusammenhang
variabel festzuhalten. Damit kann eine Einflussbegrenzung auf nur wenige Parameter
erzielt werden. Diese werden systematisch kombiniert und führen zu auswertbaren Er-
gebnissen.
σ
σσ
σ
zyklische Primärspannung
t
zyklische Sekundärspannung
σ
σσ
σ
σ
0
σ
t
Zeitsprung
t
Abbildung 17: Fall C
3
: zyklische Primär- und Sekundärspannung, ½ Phase verschoben
σ
σσ
σ
zyklische Primärspannung
t
zyklische Sekundärspannung
σ
σσ
σ
σ
0
σ
t
Zeitsprung
t
Abbildung 18: Fall C
4
: zyklische Primär- und Sekundärspannung, alternierend
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
21
Die beeinflussenden Größen, aus den beiden Materialien und Beanspruchungen lauten:
E
Elastizitätsmodul
E
ti
Verfestigungsmoduln
σ
yi
Streckgrenzen (Fließgrenzen)
σ
0
Primärspannung
σ
t
Sekundärspannung.
Für das bilineare Materialverhalten können folgende Parameter festgelegt werden:
• Materialkonstanten:
[
]
[
]
E N mm N mm
y
= ⋅ =2 10 200
5 2 2
/ , /
σ
σ
ε
y
y
E
1
0 001= = , .
• Materialvariablen:
(
)
E
E
t1
0 1 0= ... , für unterschiedliche Verfestigungsverhalten.
• Beanspruchungsvariablen:
(
)
σ
σ
0
1
0 1 0
y
= ... , für unterschiedliche Primärspannungen
(
)
σ
σ
t
y1
0 12= ... für unterschiedliche Sekundärspannungen.
Für das trilineare Materialverhalten werden folgende Parameter festgelegt:
• Materialkonstanten:
[
]
[
]
E N mm N mm
y
= ⋅ =2 10 200
5 2
1
2
/ , /
σ
σ
ε
y
y
E
1
0
001
= = , .
E E
t t2 1
1
2
= Vereinfachungskonstante 2. Verfestigungsbereich.
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
22
• Materialvariablen:
(
)
σ
σ
y
y
2
1
1 2 4= ... , Größenfaktor der 2. Fließgrenze zur 1. Fließgrenze
(
)
E
E
t1
0 1 0= ... , für untersch. Verhalten im 1. Verfestigungsbereich
• Beanspruchungsvariablen:
(
)
σ
σ
0
1
0 1 0
y
= ... , für unterschiedliche Primärspannungen
(
)
σ
σ
t
y1
0 12= ... für unterschiedliche Sekundärspannungen.
Bemerkungen zu den Beanspruchungsparametern:
Die am Zwei-Stab-System aufgebrachte Primärspannung ist als spannungs-
gesteuert zu betrachten. Sie besitzt im Verfestigungsbereich wenig Spannungs-
reserven gegenüber dem Versagen des Materials. Daher lassen die ingenieur-
technischen Regelwerke hier ein Überschreiten der elastischen Grenzspannung
nicht zu.
Die Sekundärspannung als dehnungsgesteuerte Beanspruchung (z.B. Tempe-
ratur) besitzt im Verfestigungsbereich ein hohes Potential an Dehnungsreserven
gegenüber dem Versagen des Materials. Sie sind jedoch durch die Regelwerke
auf maximal 5% örtlicher Dehnung begrenzt.
Die Ergebnisse der Berechnungen können über die Beanspruchungsparameter in Form
von Ratcheting-Interaktionsdiagrammen dargestellt werden. Die Aussagen der Inter-
aktionsdiagramme sind geometriegebunden und beziehen sich somit hier rein auf das
Zwei-Stab-System. Schlussfolgerungen auf komplexere Strukturen sind nicht ohne
weitere Untersuchungen möglich.
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
23
3.6. Graphische Ermittlung zu Ratcheting für den Präzedenzfall A
b
Der Beanspruchungsfall A
b
berücksichtigt
,
wie schon in Abschnitt 3.4. erwähnt, eine
konstante Primärspannung und eine zyklische Sekundärspannung bei bilinearen Werk-
stoffverhalten. Für eine graphische Ermittlung der Spannungs-Dehnungs-Hysteresen
beider Fachwerkstäbe ist es notwendig, die strukturellen Verträglichkeitsbedingungen
und das innere sowie äußere Gleichgewicht am Zwei-Stab-System graphisch einzuhal-
ten (siehe Abbildung 21). Die Möglichkeit einer graphischen Entwicklung wird durch
das Übereinanderschieben der Spannungs- und Dehnungsachse beider Stäbe erleichtert
(siehe Abbildung 19).
Für die graphische Lösung kann also Folgendes festgehalten werden:
• Materialgesetz: Alle Spannungs- und Dehnungszustände bewegen sich auf
den das Materialgesetz kennzeichnenden Linien (siehe
Abschnitt 3.3.).
• Verträglichkeit: Beide Stäbe erfahren die gleiche Dehnung
(siehe Abschnitt 3.2.; Knotenkopplung)
ε
ε
Stab
Stab
1
2
=
Die Dehnungsbeträge der Stäbe müssen vertikal
übereinander stehen.
• Gleichgewicht:
äußeres Gleichgewicht (nur über Primärspannung):
Auf Grund gleicher Stabquerschnitte A und der Verträglich-
keitsbedingung kann definiert werden:
σ
σσ
σ
1
ε
εε
ε
1
ε
εε
ε
2
σ
σσ
σ
i
σ
y1
ε
εε
ε
i
σ
σσ
σ
2
σ
y1
σ
y1
i = 1, 2
Abbildung19: Darstellungsvereinfachung der Materialgesetze
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
24
σ σ
0 0 2
2
, ,Stab1 Stab
F
A
= = .
inneres Gleichgewicht (nur über Sekundärspannung):
gleiche Gründe liefern hier:
σ σ σ σ
t Stab1 t Stab t Stab1 t Stab, , , ,
;+ = =
2 2
0 .
Aus Kombination beider Gleichgewichte kann geschrieben werden:
σ
σ
σ
Stab1 Stab1 t Stab1
=
+
0, ,
σ
σ
σ
Stab Stab t Stab2 0 2 2
=
+
, ,
.
Für die graphische Lösung bedeutet dies:
Die Sekundärspannungsbeträge bewegen sich in entgegen-
gesetzte Spannungsrichtungen um die Primärspannungen.
Beim Darstellen der aus der Temperatur resultierenden Sekundärspannung ist darauf zu
achten, dass beim Auftragen der thermischen Dehnung der Werkstoff zunächst zwäng-
ungsfrei ist und danach die strukturellen Verträglichkeitsbedingungen wiederhergestellt
werden (siehe Abbildung 20).
σ
σσ
σ
ε
εε
ε
−σ
y
−σ
−σ−σ
−σ
1
und 3
2
1
2
3
Temperatur t
s
ε
th
= α
t
•t
s
Zeitpunkte:
1 Ausgangszustand ohne Temperatur
2 Temperatur aufgetragen und kinematische
Randbedingung (Verträglichkeit) gelöst
3 kin. Randbedingung wiederhergestellt
Abbildung 20: Beispiel für die graphische Darstellung der Spannungsentwicklung bei dehnungs-
gesteuerten Belastungen
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
25
Hiermit sind alle Kriterien für die graphische Lösung geklärt. Abbildung 21 zeigt einen
Ansatz für den Gebrauch dieser Bedingungen.
Um das Phänomen Ratcheting anhand einer graphischen Lösung zu erklären, werden
beispielhaft folgende Parameter gesetzt:
E
E
und
t
y
t
y
1 0
1 1
0 1 0 8 1 0= = =, , , ,
σ
σ
σ
σ
Damit ergibt sich für:
• den Verfestigungsmodul E
t1
= 20000 [N/mm²]
• die Primärspannung σ
0
= 160 [N/mm²]
• und die th. Dehnung aus der Sekundärspannung ε
th
= 0,2 %
Abbildung 22 zeigt eine vollständige Hysteresenentwicklung unter den oben festge-
setzten Parametervariablen und dem anliegenden Belastungsfall A
b
. Es ist zu erkennen,
dass die Stäbe 1 und 2 von Zyklus zu Zyklus fortwährend immer kleiner werdende plas-
tische Zugdehnungszuwächse erfahren (akkumulierte plastische Dehnungen). Die stän-
dig verschobenen Spannungs-Dehnungs-Hysteresen beider Stäbe bewegen sich sozusa-
gen in Richtung einer Endhysterese.
ε
εε
ε
i
σ
σσ
σ
i
σ
y1
thermische Dehnung
Stab 1 (Zeit: ½)
Stab 2 (Zeit: ½)
Stab 1
Stab 2
σ
0, Stab1 u. 2
σ
t, Stab2
σ
t, Stab1
inneres
Gleichgewicht
Verträglichkeit
Werkstoffgesetz
Werkstoffgesetz
Stab 1, 2 (Zeit: 0)
äußeres
Gleichgewicht
i = 1, 2
Abbildung 21: Ansatz der Bedingungen für die graphische Lösung
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
26
Das Materialverhalten in dieser Endhysterese ist nur noch rein elastischer Art. Man
nennt diesen Vorgang auch „elastisches Einspielen“. Bei anderen Beanspruchungspara-
metern ist auch ein „plastisches Einspielen“, oder auch rein elastisches Verhalten mög-
lich. Das plastische Einspielen zeichnet sich durch elastisch-plastisches Verhalten in der
Endhysterese aus. Bei rein elastischem Verhalten widerfahren den Stäben zu kei-nem
Zeitpunkt plastische Dehnungen. Mit den bisher gewonnenen Ergebnissen kann das
Phänomen Ratcheting im Allgemeinen wie folgt erklärt werden:
Es ist ein Vorgang, der unter nicht linearem Materialverhalten durch
zyklische Beanspruchungen zu örtlichen plastischen Dehnungszuwächsen in
Strukturen führt.
Unter der Berücksichtigung des Sonderfalls des linear elastisch-ideal plastischen Werk-
stoffverhaltens muß unterschieden werden in [1]:
• infinites Ratcheting bei E
t
= 0:
Die Beträge der plastischen Dehnungszuwächse sind über die Zyklen
gleich groß. Die Dehnungen würden nach unendlich vielen Zyklen
theoretisch unendlich hoch sein. Der Ansatz des linear elastisch-ideal
plastischen Werkstoffverhaltens lässt daher nur eine begrenzte Anzahl
ε
εε
ε
i
[
[[
[%]
]]
]
σ
σσ
σ
i
[
[[
[N/mm²]
]]
]
0,1
0,5
0,4
0,3
0,2
200
160
ε
εε
ε
th
= 0,2 %
Stab 1 (Zeit: 1)
Stab 1 (Zeit: 1 ½)
Stab 1 (Zeit: ½)
Stab 2 (Zeit: 2)
Stab 2 (Zeit: 1)
Stab 1 (Zeit: 2)
Stab 2 (Zeit: 1 ½)
Stab 2 (Zeit: ½)
Stab 1 (Zeit: n ½)
Stab 2 (Zeit: n)
Stab 2 (Zeit: n ½)
Stab 1 (Zeit: n)
Stab 1
Stab 2
Stab 1, 2 (Zeit: 0)
n = Zyklenzahl
ε
εε
ε
el.
-
pl.
= 0,35%
Abbildung 22: Hysteresenentwicklung bis zum elastischen Einspielen
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
27
von Beanspruchungszyklen zu, da sonst die Duktilitätsgrenze des
Materials überschritten wird.
• finites Ratcheting bei 0 < E
t
< E:
Die Beträge der plastischen Dehnungszuwächse werden immer kleiner.
Die Anzahl der Zyklen bis zum Einspielen kann entweder unendlich mit
unendlich kleinen Dehnungszuwächsen oder endlich sein. Sie wird wei-
terhin beeinflußt durch den Wert der Verfestigungsmoduln. Im
Allgemeinen gilt: Je kleiner der Wert der Verfestigungsmoduln, desto
höher die zum Einspielen erforderliche Zyklenzahl.
3.7. Nummerische Lösungsansätze über die Finite-Element-Methode
und FEM-Programm ANSYS
3.7.1. Was ist die Finite-Element-Methode?
Eine vollständige Erklärung kann hier auf Grund des Umfangs der Methode nicht
gegeben werden. Dennoch soll in diesem Abschnitt ein kurzer Umriss für die Grundidee
und deren Ansatz dargelegt werden.
Die Finite-Element-Methode beruft sich auf eines der bedeutendsten Ereignisse in der
Wissenschaft des 20. Jahrhunderts, der Entdeckung der „Mathematik der Komplexität“
[8]. Eine entscheidende Rolle bei der neuen Beherrschung der Komplexität spielt die
Entwicklung leistungsfähiger Computer. Mit ihrer Hilfe sind die Mathematiker bereits
in der Lage, komplexe Gleichungen zu lösen, die sich bislang einer Lösung entzogen
haben, und die Lösungen als Kurven in einem Diagramm zu zeichnen. Auf diese Weise
kann man neue qualitative Verhaltensmuster komplexer Systeme entdecken, eine neue
Ebene der Ordnung, die dem scheinbaren Chaos zu Grunde liegt.
Die Grundlage für die Finite-Element-Methode gaben unabhängig voneinander die
beiden Mathematiker und Naturphilosophen Newton und Leibnitz durch ihre erfundene
Infinitesimalrechnung und des damit verbundenen Differentials. Gleichungen mit Diffe-
rentialen nennt man Differentialgleichungen, die bei der rechnerischen Simulation der
Finite-Element-Methode zur Anwendung kommen. Sie beschreiben an einem diffe-
rentiell kleinen Teil das Verhalten einer Struktur. Die Ansatzfunktion, für die die
Differentialgleichung aufgestellt wird, ist in unserem Fall eines Festigkeitsproblems
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
28
charakteristisch für die Verschiebungen in zuvor mathematisch abgegrenzten Bereichen
(Diskretisierung) einer Struktur. Primäres Ziel der Finite-Element-Methode ist nun, die
strukturumfassende Verschiebungsfunktionen mit noch unbekannten Verschiebungsko-
effizienten vorzuwählen und diese Koeffizienten näherungsweise zu bestimmen (siehe
Abbildung 23 [9]). Dies geschieht mit Hilfe eines nummerischen bzw. exakten
Lösungsverfahrens. Exakt bedeutet hier: Im Sinne der aufgestellten Theorie, die die
Wirklichkeit annähernd interpretiert. Dieses Lösungsverfahren überführt das Diffe-
rentialgleichungsproblem direkt in ein algebraisches Gleichungssystem mit den oben er-
wähnten unbekannten Koeffizienten. Dies geschieht nach dem Prinzip vom Minimum
der potentiellen Energie. Nach dem Auflösen des Gleichungssystems und dem Bestim-
men der Koeffizienten werden die gesuchten Verschiebungen an den Stützstellen der
diskretisierten Struktur exakt festgelegt. Durch Ableitung dieser Verschiebungsfunk-
tion nach den Koordinaten können für jede Stelle in der Struktur die Dehnungen und
Spannungen berechnet werden [9].
exakte Verschiebungsfunktion
Diskretisierung,
Aufteilung
in Elemente
Unbekannte Stützwerte an den Knoten
bereichsweise
Ansatzfunktion
Abbildung 23: Annäherung der Verschiebungsfunktion durch bereichsweise Ansatzfunktionen
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
29
3.7.2. Das FEM-Programm ANSYS
Das Computerprogramm ANSYS ist ein kommerziell angebotenes FEM-Allzweckpro-
gramm. Es ist gefächert in spezielle Anwendungsfelder, wie der klassischen Strukturan-
alysen sowie der Gebiete der Temperaturanalysen, der Magnetostatik und der elekt-
rischen Feldberechnungen. Das Programm ANSYS erfüllt die strengen Forderungen des
Kraftwerkbaus und wurde als erstes FEM-Programm nach ISO 9001 zertifiziert [10].
Die Nutzung dieses Programms für das bisher dargestellte Thema beschränkt sich auf
das Gebiet der nichtlinearen Strukturanalysen. Auf die Handhabung [11] des Pro-
gramms ANSYS soll jedoch nicht näher eingegangen werden. Die Ergebnisse aus den
ANSYS-Berechnungen werden in Diagrammform dargestellt und bieten eine günstige
Auswertung hinsichtlich des Strukturverhaltens des Zwei-Stab-Systems. Aus Über-
sichtsgründen werden in den nachstehenden FE-Analysen nur die aussagekräftigsten
Diagrammdarstellungen präsentiert.
Ein Halte-Problem, welches hier diskutiert werden muss, ergibt sich aus Abschnitt 3.6.
(graphische Ermittlung). Dort heißt es für finites Ratcheting: Die Anzahl der Zyklen
kann entweder unendlich mit unendlich kleinen Dehnungzuwächsen oder endlich sein.
Ein Computer einschließlich Software kann grundsätzlich das Problem, ob eine Maschi-
ne wie er selbst nach einem bestimmten Input anhält und ein Ergebnis erreicht oder in
einer unendlichen Schleife weiterarbeitet, nicht lösen [12]. Daher muss hier ein
Abbruchkriterium geschaffen werden. Dieses Abbruchkriterium mit der Variable
ABRKRIT kommt mit Hilfe der ANSYS-Parametersprache innerhalb einer zyklischen
Beanspruchungsschleife wie folgt zum Einsatz:
*IF,ABS(UY1-UY1ALT)/H,LT,ABRKRIT,EXIT. (ABRKRIT=9e-8)
Das bedeutet: Ist der aktuelle Dehnungszuwachs des Stabes 1 (ABS(UY1-UY1ALT)/H)
kleiner (LT) als das Abbruchkriterium (ABRKRIT), dann beende die zyklische Bean-
spruchungsschleife (EXIT). Der Ratchetingvorgang wird bei einem Dehnungszuwachs
pro Zyklus von kleiner als 9e-6 % gestoppt. Um so kleiner dieser Wert ist, um so ge-
nauer sind die aus den Verschiebungen berechneten Ergebnisse.
Um die Eingabezeiten für die Beanspruchungsparameter zu reduzieren, wurde die
Variation dieser Parameter vollständig automatisiert. Dies konnte realisiert werden
durch die Einführung einer äußeren Primärspannungsschleife und einer intern ablau-
fenden Sekundärspannungsschleife, in der die eigentliche Ratcheting-Beanspruchungs-
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
30
schleife eingebettet ist. Im Anhang dieser Arbeit ist ein vollständiges ANSYS-Eingabe-
protokoll dargestellt, welches den Präzedenzfall „konstante Primärspannung-zyklische
Sekundärspannung“ mit einem festgesetzten Verfestigungsparameter in systematischer
Kombination der Beanspruchungsparameter beinhaltet. Dieses Eingabeprotokoll stellt
die Grundlage für die weiteren Belastungsfälle dar. Die dort eingeführten Verände-
rungen beziehen sich größtenteils auf die Berechnungsschleife der zyklischen Belas-
tung.
3.8. Auswertungsstrategien für die nummerische Lösung
Um das Strukturverhalten des Zwei-Stab-Systems unter verschiedenen Beanspruchungs-
fällen zu studieren, ist es notwendig, einfache Auswertungsstrategien zu entwickeln.
Eine bewährte Methode stellt die Abfrage der zur elastischen Dehngrenze ε
y
normierten
elastisch-plastischen Dehnung ε
el.-pl.
des Stabes 2 oder der Zyklenzahl nach dem
Einspielen und Vollendung eines Zyklus dar [1]. Das Maß der normierten elastisch-
plastischen Dehnung ε
el.-pl.
/ε
y
hängt von den Beanspruchungsparametern und den
Verfestigungsparametern ab. Wenn die Verfestigungsparameter konstant gesetzt wer-
den, kann die elastisch-plastische Dehnung als Fläche in einem dreidimensionalen
Diagramm in Abhängigkeit der Beanspruchungsparameter dargestellt werden. Wie sich
später herausstellen wird, lassen sich je nach Beanspruchungskombination und Verfes-
tigungseigenschaften unterschiedliche Arten des Strukturverhaltens des Zwei-Stab-Sys-
tems identifizieren. Die Projektion der so abgegrenzten Strukturverhalten auf die
Grundfläche des dreidimensionalen Diagramms ergibt das gesuchte Ratcheting-Inter-
aktionsdiagramm. Abbildung 24 zeigt diese Darstellungsvarianten, in der die normierte
elastisch-plastische Dehnung, die in Abschnitt 3.6. graphisch ermittelt wurde, einge-
tragen ist. Die Abfrage nach der Dehnung des Stabes 2 bietet sich im Zwei-Stab-System
an, weil hier im Gegensatz zu Stab 1 unabhängig von den Zyklen keine thermischen
Dehnungen auftreten.
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
31
Um die bereits schon erwähnten Verhaltensbereiche der Struktur zu erfassen, bedarf es
umfassender Parameterstudien. Dies ist mit einem hohen rechnerischen Aufwand ver-
bunden und kann mit dem in Abschnitt 3.7.2. vorgestellten FEM-Computerprogramm
gelöst werden.
3.9. Lastfallstudien nach der Finite-Element-Methode
Für die in Abschnitt 3.4. vorgestellten Belastungsfälle werden hier die folgenden Er-
gebnisse der Ratchetingberechnungen am Zwei-Stab-System vorgestellt:
• Ratcheting-Interaktionsdiagramme
• maximale normierte elastisch-plastische Dehnungen im eingespielten Zu-
stand in Abhängigkeit der Parameter
• Anzahl der Zyklen bei Erreichen des Einspielzustandes
• Normierung der Ergebnisse der Lastfälle zu den Ergebnissen des Präzedenz-
falls
ε
ε
Stab
el pl
y
2
. .
−
σ
σ
t
y
ε
ε
Stab
el pl
y
2
. .
−
σ
σ
t
y
σ
σ
t
y
σ
σ
0
y
σ
σ
0
y
3,5
3,5
1,0
1,0 0,8
0,8
Bereich eines
bestimmten
Strukturverhaltens
1,0
Projektion
Abbildung 24: Darstellung der elastisch-plastischen Dehnung des Stabes 2 und des Strukturver-
haltensbereichs über den Belastungsparameter der Sekundärspannung und in
den Interaktionsdiagrammen der Belastungen.
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
32
3.9.1. Fall A: konstante Primärspannung - zyklische Sekundärspannung
Wie schon in Abschnitt 3.4. vorgestellt, handelt es sich hier um den Ratcheting-
Präzedenzfall. Der bisher untersuchte Fall A
b
berücksichtigte jedoch nur den Ansatz
eines bilinearen Werkstoffmodells [1]. In den hier vorliegenden FE-Analysen soll dieser
Lastfall erweitert werden. In der ersten Erweiterung soll der Ansatz einer Vordehnung
im Stab 1 und der Ansatz des bilinearen Werkstoffmodells unter dem Fall A
b,Vord.
be-
trachtet werden. Die zweite Erweiterung, der Fall A
t,
enthält eine Untersuchung, in der
das trilineare Werkstoffmodell jedoch ohne Vordehnung angesetzt wurde. Im Anfang
wird der Fall A
b
aufgeführt und soll als Ausgang und zum Vergleich der Ergebnisse zu
den anderen Fällen stehen.
3.9.1.1. Fall A
b
: bilineares Werkstoffverhalten
Abbildung 25 zeigt nochmals den Präzedenzbelastungsfall
Abbildung 26 zeigt die erreichten el.-pl. Dehnungen des Stabes 2 nach dem Einspielen
des Systems. In Abbildung 27 sind die dafür benötigten Zyklen für das in Abschnitt
0
1
4
1
2
3
4
1
1
1
4
1
1
2
1
3
4
2
2
1
4
2
1
2
2
3
4
3
n
n
1
4
n
1
2
n
3
4
n +
++
+ 1
0
1
4
1
2
3
4
1
1
1
4
1
1
2
1
3
4
2
2
1
4
2
1
2
2
3
4
3
n
n
1
4
n
1
2
n
3
4
n +
++
+ 1
σ
σσ
σ
konstante Primärspannung
t
zyklische Sekundärspannung
tt
σ
σσ
σ
σ
0
σ
t
Zeitsprung
n = Zyklenzahl
Ein Zyklus
Abbildung 25: Beanspruchung für Fall A
b
und Fall A
t
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
33
3.7.2. erwähnte Abbruchkriterium dargestellt. Variiert wurde über die Belastungs-
parameter, wobei der Verfestigungsparameter konstant blieb.
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
11,0
12,0
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
Abbildung 26: el.-pl. Dehnungen des Stabes 2 über dem Interaktionsdiagramm im Fall A
b
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
11,0
12,0
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
Abbildung 27: benötigte Zyklen zum Erreichen der Dehnungen der Abbildung 26
ε
ε
Stab
el pl
y
2
. .−
σ
σ
t
y1
σ
σ
0
1y
S
3
S
2
E
S
1
P
E
E
t1
0 1= ,
n
S
3
S
2
σ
σ
0
1y
E
S
1
P
E
E
t1
0 1= ,
σ
σ
t
y1
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
34
Aus dem in Abbildung 26 dargestellten Dehnungsverhalten lässt sich das Ratcheting-
Interaktionsdiagramm ableiten (Abbildung 28). Weiterhin ist bekannt, dass der Ver-
festigungsmodul Einfluss auf die Bereiche des elastischen Einspielens hat [1]. Die
Zyklenzahlen der Abbildung 27 geben Aufschluss über die eigentlichen Ratcheting-
Bereiche S
3
und P. Sie stellen die einzigen Bereiche, in denen nach Abschluss des ersten
Beanspruchungszyklus immer noch plastische Dehnungszuwächse auftreten.
Das Strukturverhalten in den Bereichen kann wie folgt charakterisiert werden:
elastisches Einspielen:
• Bereich S
1
: Stab 1 erhält im 1. Halbzyklus einmalig plastische
Druckdehnung und verhält sich danach nur noch elas-
tisch.
Stab 2 erhält im 1. Halbzyklus einmalig plastische Zug-
dehnung und verhält sich danach nur noch elastisch.
Nach dem 1. Halbzyklus treten für beide Stäbe keine
Dehnungszuwächse mehr auf.
σ
σ
t
y1
σ
σ
0
1y
1,0
E
E
t1
S
2
S
3
S
E
P
S
1
1,0
2,0
E
S
P
rein elastischer Bereich
elastisches Einspielen
plastisches Einspielen
VP
VP
verschieblicher Punkt:
• verschiebt sich auf der Grenze
zwischen S und P
• wird durch E
t1
/E beeinflusst
und verändert S
i
-Bereiche
Abbildung 28: Ratcheting-Interaktionsdiagramm für Fall A
b
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
35
• Bereich S
2
: Stab 1 bleibt immer elastisch.
Stab 2 erhält im 1. Halbzyklus einmalig plastische Zug-
dehnung.
Nach dem 1. Halbzyklus verhält sich die Gesamtstruktur
elastisch und bringt keine Dehnungszuwächse hervor.
• Bereich S
3
: Stab 1 erhält in jedem geraden Halbzyklus und Stab 2 in
jedem ungeraden Halbzyklus plastische Zugdehnung.
Eine erneute plastische Dehnung bringt zur vorherge-
henden plastischen Dehnung eines Stabes einen soge-
nannten Dehnungszuwachs mit sich. Dieser wird von
mal zu mal kleiner und geht nach unendlich vielen
Zyklen gegen Null. Nach dem Einspielen bleibt nur noch
elastisches Verhalten übrig (siehe graphische Lösung
Abbildung 22).
Der Bereich S
3
stellt somit den Bereich finites Ratche-
ting mit der Eigenschaft des „elastischen Einspielens“.
plastisches Einspielen:
Stab 1 erhält in jedem geraden Halbzyklus plastische Zugdehnung. In
den ungeraden Halbzyklen herrscht anfänglich elastisches Verhalten.
Stab 2 erhält in jedem ungeraden Halbzyklus plastische Zugdehnung. In
den geraden Halbzyklen zeigt sich anfänglich elastisches Verhalten.
Die dabei auftretenden immer kleiner werdenden Dehnungszuwächse
pro Zyklus führen das übrig gebliebene elastische Materialverhalten der
beiden Stäbe über ihre elastische Grenze (Streckgrenze). Ist dies erreicht,
erhalten beide Stäbe nur noch plastische Dehnungen abwechselnd im
Zug- und im Druckbereich, wobei keine Dehnungszuwächse mehr
auftreten. Es gibt also endliche viele immer kleiner werdende Deh-
nungzuwächse.
Der Bereich P ist damit der Bereich des finiten Ratcheting mit der
Eigenschaft des „plastischen Einspielens“.
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
36
3.9.1.2. Fall A
b,Vord.
: bilineares Werkstoffverhalten mit Vordehnung
Dieser Lastfall umfasst den bisher bekannten Fall A
b
zuzüglich einer im Stab 1 ange-
setzten Vordehnung ε
0,Stab1
. Ähnlich wie bei der Sekundärspannung baut sich infolge der
Vordehnung in der Struktur des Zwei-Stab-Systems ein inneres Gleichgewicht auf.
Diese Gleichgewichtsbedingung ist wie folgt definiert:
σ σ σ σ
ε ε ε ε
0 0 0 0
2 2
0
, , , ,
;
Stab1 Stab Stab1 Stab
+ = =
Die Vordehnung erzeugt in den beiden Stäben entgegen gerichtete Spannungen. Zur
Übersichtlichkeit kann sie daher auch als Spannung im Belastungshistogramm des
Falles A
b
dargestellt werden (siehe Abbildung 29).
Für den weiteren Umgang in diesem Lastfall wird die Vordehnung als hinzukommender
Belastungsparameter betrachtet. Sie kann aus Gründen der vereinfachten Behandlung
zur elastischen Dehngrenze normiert werden und bewege sich innerhalb der folgenden
Grenzen:
0
1
4
1
2
3
4
1
1
1
4
1
1
2
1
3
4
2
2
1
4
2
1
2
2
3
4
3
n
n
1
4
n
1
2
n
3
4
n +
++
+ 1
0
1
4
1
2
3
4
1
1
1
4
1
1
2
1
3
4
2
2
1
4
2
1
2
2
3
4
3
n
n
1
4
n
1
2
n
3
4
n +
++
+ 1
σ
σσ
σ
konstante Primärspannung
t
zyklische Sekundärspannung
tt
σ
σσ
σ
σ
0
σ
t
Zeitsprung
n = Zyklenzahl
Ein Zyklus
σ
ε
0
Spannung aus Vordehnung
Abbildung 29: Belastungshistogramm für Fall A
b, Vord.
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
37
(
)
ε
ε
0
0 1 4
,
... ,
Stab1
y
= .
Abbildung 30 zeigt die Entwicklung der aus nummerischen Analysen mit ANSYS ge-
wonnenen Interaktionsdiagramme der Belastungen bei steigender Vordehnung.
In dieser Entwicklung der Interaktionsdiagramme ist zu erkennen, dass die Grenze zwi-
schen dem elastischen Einspielen und dem plastischen Einspielen durch die Vordeh-
nung nicht beeinflusst wird. Mit weiterer Steigerung der Vordehnung werden in Reihen-
folge die Bereiche E, S
3
und S
2
aus dem Interaktionsdiagramm der Belastungen
verdrängt. Für die Entwicklung des Interaktionsdiagrammes einer beliebigen Vordeh-
nung im Stab 1 kann die nachstehende Konstruktionsanleitung nützlich sein:
σ
σ
t
y1
2,0
1,0
1,0
σ
σ
0
1y
0
0
σ
σ
t
y1
2,0
1,0
1,0
σ
σ
0
1y
0
0
σ
σ
t
y1
2,0
1,0
1,0
σ
σ
0
1y
0
0
σ
σ
t
y1
2,0
1,0
1,0
σ
σ
0
1y
0
0
σ
σ
t
y1
2,0
1,0
1,0
σ
σ
0
1y
0
0
ε
ε
0
1 4
y
= ,
ε
ε
0
0
y
=
ε
ε
0
0 2
y
= ,
ε
ε
0
0 6
y
= ,
ε
ε
0
1 0
y
= ,
P PPPP
S SSSS
E
E
E
S
3
S
3
S
3
S
3
S
3
S
2
S
2
S
2
S
2
S
2
S
1
S
1
S
1
S
1
S
1
VP VPVPVPVP
E
E
t
y
1 0
1+
ε
ε
VP
verschieblicher Punkt:
• verschiebt sich auf der
Grenze zwischen S und P
•
wird durch E
t1
/E und
ε
0
/
ε
y
beeinflusst
•
verändert die
S
i
-Bereiche
P
S
E
rein elastischer Bereich
plastisches Einspielen
elastisches Einspielen
Abbildung 30: Entwicklung der Interaktionsdiagramme bei steigender Vordehnung
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
38
• Zeichnen des Interaktionsdiagrammes des Falles A
b
mit S
i
-Bereichen, die
über den Parameter E
t
/E konstruiert werden können.
• Berechnung des Verschiebungswertes a, der über die Wahl einer beliebigen
Vordehnung wie folgt berechnet werden kann: a
y
y
=
+
ε
ε
ε ε
0
0
1
• Verschieben der Grenz-Primärspannung um den Betrag von a entgegen der
positiven Primärspannungsrichtung im Maßstab des Ausgangs-Interaktions-
diagrammes.
• Verschieben der Primärspannungsachse um den doppelten Betrag von a in
Richtung der positiven Sekundärspannung ebenfalls im Maßstab des Aus-
gangs-Interaktionsdiagrammes.
• Die Struktur-Verhaltensbereiche des Ausgangs-Interaktionsdiagrammes gel-
ten weiterhin für das neu eingegrenzte Vordehnungs-Interaktionsdiagramm.
• Einführung eines neuen Maßstabes, wobei die Bereichsgrenze zwischen dem
S- und P-Bereich unverrückbar bleibt.
Abbildung 31 zeigt die graphische Konstruktionsanleitung zur Entwicklung des Ratche-
ting-Interaktionsdiagrammes unter Berücksichtigung einer Vordehnung im Stab 1:
0
0
1,0
1,0
2,0
1,0
1,0
σ
σσ
σ
σ
σσ
σ
0
1y
σ
σσ
σ
σ
σσ
σ
t
y1
σ
σ
0
1y
P
E
S
S
3
S
2
S
1
VP1
VP2
a
2a
E
E
t1
E
S
P
rein elastischer Bereich
plastisches Einspielen
elastisches Einspielen
VP1
verschieblicher Punkt 1:
•
verschiebt sich auf der Grenze
zwischen S und P
•
wird durch E
t1
/E beeinflusst und ver-
ändert die S
i
-Bereiche
VP2
verschieblicher Punkt 2:
• verschiebt sich auf der Diagonalen im
S-Bereich
•
wird duch a = f(
ε
0
/
ε
y
) beeinflusst
(a wird im Maßstab des Interaktions-
diagramms des Falles A
b
eingetragen)
a
y
y
=
==
=
+
++
+
ε
εε
ε
ε
εε
ε
ε
εε
ε ε
εε
ε
0
0
1
Abbildung 31: Entwicklung des Ratcheting-Interaktionsdiagrammes mit Vordehnung im Stab 1
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
39
Das Strukturverhalten des Zwei-Stab-Systems in den Bereichen E, S und P im Lastfall
A
b,Vord.
, gleicht dem Strukturverhalten in diesen Bereichen des Falles A
b
(siehe Ab-
schnitt 3.9.1.1.).
Die nachstehenden Diagramme geben einen Überblick über die Entwicklung der
elastisch-plastischen Dehnungen und der benötigten Zyklenzahl bis zum Einspielen bei
steigender Vordehnung. Dabei wurden der Verfestigungsparameter und der Bean-
spruchungsparameter der Primärspannung festgesetzt. Weiterhin sind die entstandenen
Ergebnisse zum Lastfall A
b
normiert worden. In Abbildung 32 ist zu erkennen, dass sich
die Dehnungen im Bereich des plastischen Einspielens ausgehend von den Dehnungen
des Lastfalles A
b
(ε
0
/ε
y
=0) proportional zur steigenden Vordehnung erhöhen. Da sich die
Bereiche unterhalb der Grenze des plastischen Einspielens verändern, sind auf den
ersten Blick keine Proportionalitäten in diesen Bereichen hinsichtlich der Dehnungs-
entwicklung auszumachen. Die Normierungen der elastisch-plastischen Dehnung zu der
des Falles A
b
geben weitere Zusammenhänge für die durch die Vordehnung verscho-
benen Bereiche. Abbildung 33 zeigt die Normierungen der durch die Vordehnung be-
einflussten Dehnungen zum Fall A
b
. In Abbildung 34 sind die bei dem in Abschnitt
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
epsv/epsy=0,0
epsv/epsy=0,2
epsv/epsy=0,6
epsv/epsy=1,0
epsv/epsy=1,4
Abbildung 32: elastisch-plastische Dehnungen im Stab 2 für verschiedene Vordehnungen im Stab1
im eingespielten Zustand am Zyklusende
ε
ε
Stab
el pl
y
2
. .−
σ
σ
t
y1
ε
0
/ ε
y
= 0,0
ε
0
/ ε
y
= 0,2
ε
0
/ ε
y
= 0,6
ε
0
/ ε
y
= 1,0
ε
0
/ ε
y
= 1,4
Bereich P
Bereiche E und S
i
E
E
t
y
1 0
1
0 1 0 5= =, ; ,
σ
σ
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
40
3.7.2. gewählten Abruchkriterium benötigten Zyklenzahlen zur Erreichung der Deh-
nungen der Abbildung 32 dargestellt. Abbildung 35 gibt Auskunft über die Entwicklung
der Zyklenzahlen bei unterschiedlicher Vordehnung in Bezug zum Fall A
b
.
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
epsv/epsy=0,0
epsv/epsy=0,2
epsv/epsy=0,6
epsv/epsy=1,0
epsv/epsy=1,4
Abbildung 33: Normierungen der Dehnungsentwicklung unterschiedlicher ε
εε
ε
0
zum Fall A
b
0
5
10
15
20
25
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
epsv/epsy=0,0
epsv/epsy=0,2
epsv/epsy=0,6
epsv/epsy=1,0
epsv/epsy=1,4
Abbildung 34: benötigte Zyklenzahlen bis zum Einspielen bei unterschiedlicher Vordehnung
σ
σ
t
y1
ε
0
/ ε
y
= 0,0
ε
0
/ ε
y
= 0,2
ε
0
/ ε
y
= 0,6
ε
0
/ ε
y
= 1,0
ε
0
/ ε
y
= 1,4
ε
0
/ ε
y
= 0,0
ε
0
/ ε
y
= 0,2
ε
0
/ ε
y
= 0,6
ε
0
/ ε
y
= 1,0
ε
0
/ ε
y
= 1,4
ε
ε
ε
ε
ε
ε
St
el pl
St
el pl
y
y
. ,
. .
. ,
. .
2
2 0
0
0
−
=
−
n
E
E
t
y
1 0
1
0 1 0 5= =, ; ,
σ
σ
Bereich P
Bereiche E und S
i
Maximum bei:
σ
σ
σ
σ
t
y y
= −1
0
1
?
Bereich P
Bereiche E und S
i
E
E
t
y
1 0
1
0 1 0 5= =, ; ,
σ
σ
Bereich S
3
:
erhöhte Zyklenzahl
σ
σ
t
y1
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
41
Wie schon aus Fall A
b
bekannt, ist zu erkennen, dass sich ein Maximum an benötigten
Zyklenzahlen zum Erreichen des Einspielzustandes im Bereich S
3
einstellt. Aus Ab-
bildung 35 ist zu entnehmen, dass sich die Zyklenzahlen bei steigender Vordehnung im
Stab 1 in Bezug zum Fall A
b
nicht erhöhen.
Die vorliegenden Untersuchungen zu der Dehnungs- und Zyklenentwicklung bei unter-
schiedlicher Vordehnung im Stab 1 wurden anhand einer feststehenden Parameter-
kombination von Primärspannung und Verfestigung durchgeführt. Die Erkenntnisse aus
dieser stichprobenartigen Untersuchung durch die Bereiche E, S
i
und P, können auf
Grund gleichartigen Strukturverhaltens in diesen Bereichen auch für andere Pri-
märspannungen und Verfestigungen gelten und auch für den hier untersuchten Bereich
S
1
da in diesem Bereich das selbe Dehnungsgesetz wie im Bereich P gilt.
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
epsv/epsy=0,0
epsv/epsy=0,2
epsv/epsy=0,6
epsv/epsy=1,0
epsv/epsy=1,4
Abbildung 35: Normierung der benötigten Zyklenzahlen zum Fall A
b
ε
0
/ ε
y
= 0,0
ε
0
/ ε
y
= 0,2
ε
0
/ ε
y
= 0,6
ε
0
/ ε
y
= 1,0
ε
0
/ ε
y
= 1,4
σ
σ
t
y1
n
n
y
y
ε
ε
ε
ε
0
0
0=
Bereich P
verschobene Bereiche E und S
i
E
E
t
y
1 0
1
0 1 0 5= =, ; ,
σ
σ
Nicht normierbarer Bereich,
da Division durch Null
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
42
3.9.1.3. Fall A
t
: trilineares Werkstoffverhalten
Wie schon in Abschnitt 3.3. dargestellt, soll nun ein wirklichkeitsnäheres Werkstoff-
modell den Untersuchungen zu Struktur-Ratcheting unterworfen werden. Das trilineare
Werkstoffmodell beinhaltet das bisher untersuchte bilinear kinematische Werkstoff-
verhalten. Zunächst soll die Gültigkeitsgrenze des bilinearen Werkstoffmodells im
Ratcheting-Interaktionsdiagramm für unterschiedliche Parameter der zweiten Fließgren-
ze gesucht werden. Die nachstehende Untersuchung beschäftigt sich daher mit der An-
näherung der zweiten Streckgrenze an die Elastizitätsgrenze. Abbildung 36 zeigt durch
nummerische Untersuchungen mit ANSYS gewonnene Ratcheting-Interaktionsdia-
gramme bei einer solchen Annäherung, wobei der Größenfaktor der 2. Fließgrenze zur
1. Fließgrenze sukzessiv verkleinert und innerhalb dieser Variation über die Beanspru-
chungsparameter interagiert wurde. Zur Überschaubarkeit wurden die Verfestigungs-
parameter mit unrealistischen Größen besetzt. Dies bringt nur Konsequenzen für die
Dehnungen und die bis zum Einspielen erforderlichen Zyklenzahlen mit sich, ist aber
für das Studium des Srukturverhaltens unter trilinearen Werkstoffverhalten vorteilhaft.
Folgende Materialparameter werden untersucht:
(
)
σ
σ
y
y
und
2
1
2 4 18 1 4 1 2 1 0= , , , , , , , ,
E
E
und
t1
0 4= ,
E
E
da E E
t
t t
2
2 1
0 2
1
2
= =, , (siehe Abschnitt 3.5.)
Die Belastungsparameter werden wie bisher unter Berücksichtigung einer konstanten
Primärspannung und einer zyklischen Sekundärspannung in ihren abgesteckten Grenzen
variiert. In Abbildung 36 ist zu erkennen, wie sich die Grenze zwischen dem bilinear
kinematischen Werkstoffverhalten und dem Bereich des trilinearen Einflusses bei klei-
ner werdendem Abstand der Streckgrenzen in Richtung des verfestigungsunabhängigen
Elastizitätsbereiches vorschiebt. Aus der in Abbildung 36 durchgeführten Untersuchung
lässt sich das in Abbildung 37 dargestellte Ratcheting-Interaktions-diagramm für
trilineares Werkstoffverhalten im Zwei-Stab-System entwickeln. Dieses Interaktions-
diagramm beinhaltet alle Strukturverhaltensbereiche die für das trilineare Werkstoff-
verhalten in diesem System möglich sind.
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
43
σ
σ
t
y1
2,0
1,0
1,0
σ
σ
0
1y
0
0
σ
σ
t
y1
2,0
1,0
1,0
σ
σ
0
1y
0
0
σ
σ
t
y1
2,0
1,0
1,0
σ
σ
0
1y
0
0
σ
σ
t
y1
2,0
1,0
1,0
σ
σ
0
1y
0
0
σ
σ
t
y1
2,0
1,0
1,0
σ
σ
0
1y
0
0
P
b
10,0
9,0
8,0
7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
10,0
9,0
8,0
7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
10,0
9,0
8,0
7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
10,0
9,0
8,0
7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
10,0
9,0
8,0
7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
σ
σ
y
y
2
1
2 4= ,
σ
σ
y
y
2
1
1 0= ,
σ
σ
y
y
2
1
1 2= ,
σ
σ
y
y
2
1
1 4= ,
σ
σ
y
y
2
1
18= ,
E
E
E
E
t t2 1
E
E
E
E
t t2 1
E
E
t2
E
E
E
E
t t2 1
E
E
E
E
t t2 1
2
1
2
1
2
+
−
E
E
y
y
t
σ
σ
2
1
2
1
2
+
−
E
E
y
y
t
σ
σ
2
1
2
1
2
+
−
E
E
y
y
t
σ
σ
2
1
2
1
2
+
−
E
E
y
y
t
σ
σ
2
2
E
E
t
2
2
E
E
t
2
2
E
E
t
2
2
E
E
t
2
2
E
E
t
P
b
E EEEE
S
b
S
b
S
b
S
b
( )
σ
σ
y
y
und
2
1
2 4 18 1 4 1 2 0 0= , , , , , , , ,
E
E
und
t1
0 4= ,
E
E
t2
0 2= ,
variable Materialparameter: Zeichenerklärung:
E
Grenze zwischen bilinearem Werkstoff-
verhalten und dem Gebiet des trilinearen
Einflusses
rein elastischer Bereich (unabhängig)
plastisches Einspielen des bil. WV
elastisches Einspielen des bil. WV
verschiebliche Punkte
P
b
S
b
S
b
Abbildung 36: Bereiche unterschiedlichen Strukturverhaltens bei Annährung der zweiten
Streckgrenze an die Elastizitätsgrenze im trilinearen Werkstoffverhalten
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
44
3,0
2,0
1,0
1,0
0
0
σ
σσ
σ
σ
σσ
σ
0
1y
σ
σσ
σ
σ
σσ
σ
t
y1
E
E
t2
E
E
t1
σ
σ
σ
σ
t
y
y
y
t
E
E
1
2
1
2
2
1
= +
−
E
P
t
S
t
S
b
S
bt3
S
b2
S
t2
S
b3
S
b1
S
t1
S
bt1
S
t3
P
t2
P
t1
P
t4
Grenze zw. bilinearem
Werkstoffverhalten und
dem Gebiet des
trilinearen Einflusses
Übergangsbereiche
P
t3
Abbildung 37: Ratcheting-Interaktionsdiagramm für trilineares Werkstoffverhalten
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
45
Die in Abbildung 37 bezeichneten Bereiche können wie folgt charakterisiert werden:
Strukturverhalten des Systems im rein bilinearen Bereich:
Die Strukturverhalten der Bereiche S
b1
, S
b2
, S
b3
und P
b
(sofern vorhanden) sind
identisch mit den in Abschnitt 3.9.1.1. (Fall A
b
) vorgestellten Bereichen S
1
, S
2
,
S
3
und P.
Strukturverhalten des Systems im trilinearen Einflussbereich:
elastisches Einspielen in den Übergangsbereichen:
(In den Übergangsbereichen erhält ein Stab keine plastischen Dehnungen im
Verfestigungsbereich 2)
• Bereich S
bt1
:
Stab 1 erhält im 1. Halbzyklus einmalig plastische Druckdehnung
im Verfestigungsbereich 1 und verhält sich danach nur noch
elastisch.
Stab 2 erhält im 1. Halbzyklus einmalig plastische Zugdehnung
im Verfestigungsbereich 2 und verhält sich danach nur noch
elastisch.
Nach dem 1. Halbzyklus treten für beide Stäbe keine Deh-
nungszuwächse mehr auf.
• Bereich S
bt3
:
Stab 1 erhält in jedem geraden Halbzyklus plastische
Zugdehnungen im Verfestigungsbereich 1
Stab 2 erhält in jedem ungeraden Halbzyklus plastische
Zugdehnungen im Verfestigungsbereich 2
Die akkumulierten plastischen Zugdehnungen werden von
mal zu mal kleiner und gehen nach unendlich vielen Zyklen
gegen Null. Nach dem Einspielen bleibt nur noch elastisches
Verhalten übrig. Der Bereich S
bt3
stellt somit einen der finiten
Ratcheting-Bereiche mit der Eigenschaft des „elastischen
Einspielens“.
• Zwischen den Bereichen S
b2
und S
t2
gibt es keinen Übergangsbereich
elastische Einspielbereiche, wenn sich beide Stäbe im Verfestigungsbereich 2
befinden:
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
46
• Bereich S
t1
:
gleiches Strukturverhalten wie in Bereich S
bt1
mit dem Unter-
schied, dass Stab 1 im 1. Halbzyklus einmalig plastische Druck-
dehnung im Verfestigungsbereich 2 erhält.
• Bereich S
t2
:
Stab 1 bleibt immer elastisch.
Stab 2 erhält im 1. Halbzyklus einmalig plastische Zugdehnung.
Nach dem 1. Halbzyklus verhält sich die Gesamtstruktur elas-
tisch und bringt keine Dehnungszuwächse hervor.
• Bereich S
t3
:
Stab 1 erhält in jedem geraden Halbzyklus und Stab 2 in jedem
ungeraden Halbzyklus plastische Zugdehnungen im Verfesti-
gungsbereich 2.
Hinsichtlich der akkumulierten plastischen Zugdehnungen gilt
das gleiche wie im Bereich S
bt3
.
Der Bereich S
t3
ist somit ein weiterer finiter Ratchetingbereich
mit der Eigenschaft des „elastischen Einspielens“.
plastisches Einspielen:
• Bereich P
1
:
Im 1. Halbzyklus erhalten Stab 1 plastische Druckdehnung und
Stab 2 plastische Zugdehnung einmalig im Verfestigungs-
bereich 2
In den weiteren Halbzyklen erhalten beide Stäbe nur noch
plastische Dehnungen im Verfestigungsbereich 1 abwechselnd
im Zug- und im Druckbereich.
Nach dem 1. Halbzyklus ist das System „plastisch eingespielt“
und bringt keine Dehnungszuwächse hervor.
• Bereich P
2
:
Beide Stäbe erhalten abwechselnd im Zug- und Druckbereich
plastische Dehnungen im Verfestigungsbereich 1, wobei der
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
47
Stab 2 im 1. Halbzyklus einmalig im Verfestigungsbereich 2
des Zugbereiches plastiziert.
Nach dem 1. Halbzyklus ist das System „plastisch eingespielt“
und bringt keine Dehnungszuwächse hervor.
• Bereich P
3
:
Stab 1 erhält in jedem geraden Halbzyklus plastische Zugdeh-
nung im Verfestigungsbereich 2. In den ungeraden Halbzyklen
herrscht anfänglich elastisches Verhalten.
Stab 2 erhält in jedem ungeraden Halbzyklus plastische
Zugdehnung im Verfestigungsbereich 2. In den geraden Halb-
zyklen zeigt sich gleichfalls anfänglich elastisches Verhalten.
Die dabei auftretenden immer kleiner werdenden Dehnungszu-
wächse führen das übriggebliebene elastische Materialverhalten
über ihre elastische Grenze. Ist dies erreicht, erhalten Stab 1 in
den ungeraden Halbzyklen und Stab 2 in den geraden Halbzyklen
plastische Druckdehnungen im Verfestigungsbereich 1. Das
System ist „plastisch eingespielt“, wenn nur noch plastische
Dehnungen abwechselnd im Zug- und Druckbereich des Ver-
festigungsbereiches 1 auftreten. Der Bereich P
3
ist damit ein
Bereich des finiten Ratcheting mit der Eigenschaft des „plas-
tischen Einspielens“.
• Bereich P
4
:
In der eingespielten Hysterese erhalten beide Stäbe plastische
Dehnungen abwechselnd im Zug- und Druckbereich des Ver-
festigungsbereiches 2.
Im 1. Halbzyklus kann der Stab 1 im 1. oder 2. Verfes-
tigungsbereich im Druckbereich plastizieren oder elastisches
Verhalten aufweisen.
Im 2. Halbzyklus kann der Stab 2 im 1. oder 2. Verfesti-
gungsbereich im Druckbereich plastizieren. Das System ist nach
dem 1. oder 3. Halbzyklus „plastisch eingespielt“.
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
48
Abbildung 38 und 39 zeigen die el.-pl. Dehnungen im eingespielten Zustand und die
erforderlichen Zyklenzahlen für eine gewählte Material-Parameterkombination.
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
11,0
12,0
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
Abbildung 38: el.-pl. Dehnungen des Stabes 2 über dem Interaktionsdiagramm im Fall A
t
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
11,0
12,0
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
Abbildung 39: benötigte Zyklen zum Erreichen der Dehnungen der Abbildung 38
ε
ε
Stab
el pl
y
2
. .−
σ
σ
t
y1
σ
σ
0
1y
Knick
E
E
E
E
t t
y
y
1 2
2
1
0 2 0 1 18= = =, , , , ,
σ
σ
σ
σ
t
y1
σ
σ
0
1y
E
E
E
E
t t
y
y
1 2
2
1
0 2 0 1 18= = =, , , , ,
σ
σ
n
E
E
S
b2
S
b2
S
b3
S
b3
S
bt3
S
bt3
S
t3
S
t3
P
t3
P
t4
P
t3
P
t1
P
t2
P
t2
P
b
P
b
S
b1
S
b1
P
t1
P
t4
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
49
Die folgenden Diagrammdarstellungen dienen einem tieferen Studium des trilinearen
Materialverhaltens am Zwei-Stab-System. Für die dargestellten Ergebnisse in Abbil-
dung 40 wurden die Materialparameter mit unrealistischen Größen besetzt. Hierbei sind
die Dehnungsverläufe über die Sekundärspannung in den abgegrenzten Struktur-
verhaltensbereichen klar zu erkennen. Der Bereich S
t1
wurde bei diesen Parameter-
kombinationen nicht erfaßt.
Die Diagrammdarstellungen Abbildung 41 und 42 entsprechen einem etwas realis-
tischeren Materialverhalten. Dargestellt sind die elastisch-plastischen Dehnungen im
eingespielten Zustand und die dafür benötigten Zyklen. Der Vergleich des bilinearen
und des trilinearen Materialverhaltens wird unter der folgenden Bedingung vollzogen:
E
E
t bilinear t trilinear1 2, ,
=
.
Dabei ist zu erkennen, dass beim bilinearen Materialverhalten an jeder Stelle im
Interaktionsdiagramm die größten Dehnungen auftreten. Hinsichtlich der zum Ein-
spielen benötigten Zyklen tritt speziell der Bereich P
t3
des trilinearen Materialverhaltens
mit höheren Zyklenzahlen hervor.
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5
Abbildung 40: Dehnungsverläufe in den Strukturverhaltensbereichen im Fall A
t
σ σ
0 1
0 1
y
= ,
σ σ
0 1
0 2
y
= ,
σ σ
0 1
0 3
y
= ,
σ σ
0 1
0 4
y
= ,
σ σ
0 1
0 5
y
= ,
σ σ
0 1
0 6
y
= ,
σ σ
0 1
0 7
y
= ,
σ σ
0 1
0 8
y
= ,
σ σ
0 1
0 9
y
= ,
σ σ
0 1
1 0
y
= ,
E
S
bt1
S
bt3
S
b2
S
b1
S
t3
S
b3
P
t2
P
t3
P
t1
P
t4
S
t2
Grenze zwischen
bilinearem und trilinearem
Werkstoffverhalten
ε
ε
Stab
el pl
y
2
. .−
σ
σ
t
y1
E
E
E
E
t t
y
y
1 2
2
1
0 4 0 2 1 4= = =, , , , ,
σ
σ
E
E
E
E
t t
y
y
1 2
2
1
0 4 0 2 1 4= = =, , , , ,
σ
σ
Bereich S
t1
liegt genau im gekenn-
zeichneten Punkt. Die Dehnungen
im Bereich S
t1
verlaufen konstant.
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
50
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5
Abbildung 41: el.-pl. Dehnungen für trilineares Materialverhalten im Zwei-Stab-System
0
5
10
15
20
25
30
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5
S0/SY1=0,1
S0/SY1=0,2
S0/SY1=0,3
S0/SY1=0,4
S0/SY1=0,5
S0/SY1=0,6
S0/SY1=0,7
S0/SY1=0,8
S0/SY1=0,9
S0/SY1=1,0
Abbildung 42: zum Einspielen benötigte Zyklen bei el.-pl. Dehnungen der Abbildung 41
Grenze zwischen
bilinearem und trilinearem
Werkstoffverhalten
E
E
E
E
t t
y
y
1 2
2
1
0 2 0 1 1 2= = =, , , , ,
σ
σ
ε
ε
Stab
el pl
y
2
. .−
σ
σ
t
y1
σ σ
0 1
0 1
y
= ,
σ σ
0 1
0 2
y
= ,
σ σ
0 1
0 3
y
= ,
σ σ
0 1
0 4
y
= ,
σ σ
0 1
0 5
y
= ,
σ σ
0 1
0 6
y
= ,
σ σ
0 1
0 7
y
= ,
σ σ
0 1
0 8
y
= ,
σ σ
0 1
0 9
y
= ,
σ σ
0 1
1 0
y
= ,
P
S
E
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ
σ
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0
1
0
10
0
20
0
30
0
40
0
50
0
60
0
70
0
80
0
90
1
00
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
σ
σ
t
y1
E
E
E
E
t t
y
y
1 2
2
1
0 2 0 1 1 2= = =, , , , ,
σ
σ
n
S
P
E
P
t4
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
51
3.9.2. Fall B: zyklische Primärspannung - konstante Sekundärspannung
Im Gegensatz zum Fall A werden in dem hier behandelten Fall B die Belastungseigen-
schaften vertauscht. Abbildung 43 zeigt noch einmal den am Zwei-Stab-System an-
liegenden Lastfall B. Die Untersuchung beschränkt sich in erster Linie auf die Prüfung
des Phänomens Ratcheting bei bilinearem Materialverhalten im Zwei-Stab-System.
Dazu wurde wie bisher der Verfestigungsparameter festgesetzt und über die Belastungs-
parameter variiert. Abbildung 44 zeigt die erreichten elastisch-plastischen Dehnungen
im eingespielten Zustand. Es wurde festgestellt, dass bei keiner Belastungskombination
akkumulierte plastische Dehnungen auftreten. Das System ist immer nach Abschluss des
1. Halbzyklus elastisch eingespielt:
Der Lastfall B erzeugt im Zwei-Stab-System kein Struktur-Ratcheting
Aus der Projektion der abgegrenzten Dehnungsverhalten in Abbildung 44 konnte das in
Abbildung 45 dargestellte Interaktionsdiagramm abgeleitet werden.
0
1
4
1
2
3
4
1
1
1
4
1
1
2
1
3
4
2
2
1
4
2
1
2
2
3
4
3 n
n
1
4
n
1
2
n
3
4
n +
++
+ 1
0
1
4
1
2
3
4
1
1
1
4
1
1
2
1
3
4
2
2
1
4
2
1
2
2
3
4
3
n
n
1
4
n
1
2
n
3
4
n +
++
+ 1
σ
σσ
σ
zyklische Primärspannung
t
konstante Sekundärspannung
t t
σ
σσ
σ
σ
0
σ
t
Zeitsprung
n = Zyklenzahl
Ein Zyklus
Abbildung 43: Belastungshistogramm im Lastfall B
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
52
Das Strukturverhalten, kann in den unterschiedlichen Bereichen des Ratcheting-Inter-
aktionsdiagrammes wie folgt charakterisiert werden:
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
11,0
12,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
11,0
12,0
13,0
Abbildung 44: elastisch-plastische Dehnungen im eingespielten Zustand im Lastfall B
σ
σ
t
y1
σ
σ
0
1y
1,0
2
1
S
E
1,0
2,0
E
S
rein elastischer Bereich
elastisches Einspielen
Abbildung 45: Interaktionsdiagramm für Fall B
ε
ε
Stab
el pl
y
2
. .−
σ
σ
0
1y
σ
σ
t
y1
E
E
t1
0 1= ,
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
53
elastisches Einspielen:
• Bereich 1: Beide Stäbe werden durch das Auftragen der konstanten
Sekundärspannung nicht plastiziert.
Stab 1 bleibt in den folgenden Zyklen immer elastisch.
Stab 2 erhält im 1. Halbzyklus einmalig plastische Zug-
dehnung.
Nach dem 1. Halbzyklus ist das System „elastisch einge-
spielt“.
• Bereich 2: Durch Auftragen der konstanten Sekundärspannung wird
Stab 1 im Druckbereich und Stab 2 im Zugbereich
plastiziert.
Stab 1 bleibt in den folgenden Zyklen immer elastisch.
Stab 2 erhält im 1. Halbzyklus letztmalig plastische Zug-
dehnung.
Nach dem 1. Halbzyklus ist das System „elastisch einge-
spielt“.
Im Sonderfall linear elastisch-ideal plastisches Werkstoffverhalten (E
t1
= 0) wurde ein
indifferentes Gleichgewicht nach Auftragen der Sekundärspannung im Bereich 2 festge-
stellt. Das heißt: Bei Verschiebung der Verträglichkeitsbedingung werden die Energie-
verhältnisse im System nicht verändert [3]. In Abbildung 46 ist das indifferente Gleich-
gewicht graphisch erklärt.
σ
σσ
σ
−
−−
−
σ
σσ
σ
−
−−
−
ε
εε
ε
ε
εε
ε
indifferente Verträglichkeitsbedingung
thermische Dehnung
Abbildung 46: indifferentes Gleichgewicht im Bereich 2 bei Sonderfall E
t1
= 0
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
54
Die elastisch-plastischen Dehnungen nach Abschluss des 1. Vollzyklus können in Ab-
hängigkeit der Parameter wie folgt berechnet werden:
rein elastischer Bereich:
Bedingung:
σ
σ
σ
0 1
+
≤
t y
ε
εε
ε
σ
σσ
σ
Stab
el pl
t
E
2
. .−
−−
−
=
==
=
Bereiche des „elastischen Einspielens“:
• Bereich 1:
Bedingung:
σ
σ
σ
σ
σ
0 1 1
+
>
≤
t y t y
und
(
((
(
)
))
)
ε
εε
ε
σ
σσ
σ σ
σσ
σ ε
εε
ε
σ
σσ
σ
ε
εε
ε
Stab
el pl
t y
t
y
E
E E E
2
0
1
0
2
. .−
−−
−
=
==
=
⋅
⋅⋅
⋅ +
++
+ −
−−
− ⋅
⋅⋅
⋅
+
++
+
−
−−
− +
++
+
• Bereich 2:
Bedingung:
σ
σ
t y
>
1
ε
εε
ε
σ
σσ
σ
σ
σσ
σ
σ
σσ
σ
Stab
el pl
t
t
E E E
2
0
1
0
2
. .−
−−
−
=
==
=
⋅
⋅⋅
⋅
+
++
+
+
++
+
−
−−
−
3.9.3. Fall C: zyklische Primärspannung - zyklische Sekundärspannung
In dem hier dargestellten Lastfall wird das Phänomen Ratcheting hinsichtlich rein
zyklischer Belastungen untersucht. Das Auftreten rein zyklischer Belastungen spielt
neben den bisher untersuchten Fällen für die Praxis eine wesentliche Rolle. Das zeit-
liche Verschieben der periodisch ablaufenden Spannungszustände einer Belastungsart
(z.B. Sekundärspannung) führt zu unterschiedlichen Lastfällen innerhalb des Falles C.
Die Verschiebung des zeitlichen Auftretens der Belastungen nennt man Phasenver-
schiebung. In den nachstehenden FE-Analysen sind vier prägnante Fälle vorgestellt, die
sich in diesen Phasenverschiebungen unterscheiden.
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
55
3.9.3.1. Fall C
1
: Primär- und Sekundärspannung sind phasengleich
„Primärspannung und Sekundärspannung sind phasengleich“ bedeutet hier, dass die
Phasenverschiebung gleich Null ist. Die Abbildung 47 zeigt das gleichzeitige Wirken
der Spannungsspitzen der Belastungen im Belastungshistogramm. In Abbildung 48 sind
die elastisch-plastischen Dehnungen im eingespielten Zustand bei festgesetzten
Verfestigungsparameter und der gewohnten Variation über die Belastungen dargestellt.
Im Vergleich zum Fall A, erreichen die el.-pl. Dehnungen des ersichtlichen Plateau’s in
Abbildung 48 maximal 10% der el.-pl. Dehnungen des Falles A (Abbildung 26). Es ist
festzustellen, dass in keinem Punkt des Interaktionsdiagrammes die erreichten Deh-
nungen des Falles C
1
die Dehnungen des Falles A bei gleichen Verfestigungs- und
Belastungsparametern überschreiten. Hinsichtlich des Enstehens akkumulierter plas-
tischer Dehnungen konnte folgende Feststellung gemacht werden:
Der Lastfall C
1
erzeugt im Zwei-Stab-System kein Struktur-Ratcheting.
0
1
4
1
2
3
4
1
1
1
4
1
1
2
1
3
4
2
2
1
4
2
1
2
2
3
4
3
n
n
1
4
n
1
2
n
3
4
n +
++
+ 1
0
1
4
1
2
3
4
1
1
1
4
1
1
2
1
3
4
2
2
1
4
2
1
2
2
3
4
3
n
n
1
4
n
1
2
n
3
4
n +
++
+ 1
σ
σσ
σ
zyklische Primärspannung
t
zyklische Sekundärspannung
tt
σ
σσ
σ
σ
0
σ
t
Zeitsprung
n = Zyklenzahl
Ein Zyklus
Phasenverschiebung = 0
Abbildung 47: Belastungshistogramm für Lastfall C
1
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
56
Abbildung 49 zeigt das aus der Projektion des 3-D-Diagramms Abbildung 48 abgelei-
tete Interaktionsdiagramm.
Für die in Abbildung 48 entdeckten Bereiche konnten die folgenden Strukturverhalten
ausgemacht werden:
elastisches Einspielen:
Die Bereiche S
1
und S
2
sind bezüglich des Strukturverhaltens identisch
den Bereichen S
1
und S
2
des Falles A
b
.
elastisch-plastisches Einspielen:
• Bereich SP
1
: Stab 1 erhält im 1. Halbzyklus einmalig plastische
Druckdehnung und verhält sich danach nur noch
elastisch.
Stab 2 erhält im 1. Halbzyklus plastische Zugdehnung
und anschließend plastische Dehnungen abwechselnd
im Zug- und Druckbereich.
Besonderheit: Nach dem 1. Halbzyklus ist der Stab 1 elastisch
eingespielt und Stab 2 plastisch eingespielt.
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
11,0
12,0
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
Abbildung 48: elastisch-plastische Dehnungen im eingespielten Zustand im Lastfall C
1
ε
ε
Stab
el pl
y
2
. .−
σ
σ
0
1y
σ
σ
t
y1
E
E
t1
0 1= ,
SP
2
SP
1
S
2
P
S
1
E
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
57
3,0
2,0
1,0
1,0
0
0
σ
σσ
σ
σ
σσ
σ
0
1y
σ
σσ
σ
σ
σσ
σ
t
y1
E
E
t1
E
S
1
11,0
10,0
9,0
8,0
7,0
6,0
5,0
4,0
12,0
σ
σ
t
y t
E
E
1 1
2= +
σ
σ
t
y t
E
E
1 1
1= +
P
S
2
S
SP
SP
2
SP
1
Abbildung 49: Interaktionsdiagramm für Fall C
1
am Zwei-Stab-System
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
58
• Bereich SP
2
: Stab 1 bleibt immer elastisch.
Stab 2 erhält im 1. Halbzyklus plastische Zugdehnung
und erhält anschließend plastische Dehnungen ab-
wechselnd im Zug- und Druckbereich.
Besonderheit: Nach dem 1. Halbzyklus ist der Stab 1 elastisch
eingespielt und Stab 2 plastisch eingespielt.
plastisches Einspielen: (Bereich P)
Stab 1 und Stab 2 erhalten in jedem Halbzyklus abwechselnd im
Zug- und Druckbereich plastische Dehnungen. Die Struktur ist
nach dem 1. Halbzyklus plastisch eingespielt.
Die elastisch-plastischen Dehnungen nach Abschluß des 1. Vollzyklus können in
Abhängigkeit der Parameter wie folgt berechnet werden:
rein elastischer Bereich:
Bedingung:
σ
σ
σ
0 1
+
≤
t y
ε
εε
ε
Stab
el pl
2
0
. .
−
−−
−
=
==
=
Bereiche des „elastischen Einspielens“:
• Bereich S
1
:
Bedingung:
σ
σ
σ
0 1
1
+
−
≤
t y
(
)
σ σ σ
t y
t t
E
E
E
E
+ − ⋅ − >
1 0
1 1
1
ε
εε
ε
σ
σσ
σ σ
σσ
σ
Stab
el pl
t
t t
t
E E
E E E E
2
1
1
0
1
. .−
−−
−
=
==
=
−
−−
−
+
++
+
⋅
⋅⋅
⋅ +
++
+
• Bereich S
2
:
Bedingung:
σ
σ
σ
0 1
+
>
t y
σ
σ
σ
0 1
1
+
−
≤
t y
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
59
(
)
σ σ σ
t y
t t
E
E
E
E
+ − ⋅ − ≤
1 0
1 1
1
ε
εε
ε
σ
σσ
σ
σ
σσ
σ
ε
εε
ε
Stab
el pl
t
t
t
y
E E
E E E
2
1
1
0
. .−
−−
−
=
==
=
−
−−
−
+
++
+
⋅
⋅⋅
⋅
+
++
+
−
−−
−
Bereiche des „elastisch-plastischen Einspielens“:
• Bereich SP
1
:
Bedingung:
σ
σ
σ
0 1
1
+
−
>
t y
(
)
σ σ σ
t y
t t
E
E
E
E
+ − ⋅ − >
1 0
1 1
1
(
)
σ σ σ
t y
t t
E
E
E
E
+ − ⋅ − ≤
1 0
1 1
2
ε
εε
ε
σ
σσ
σ σ
σσ
σ
ε
εε
ε
Stab
el pl
t
t t
t
y
E E
E E E E
2
1
1
0
1
2
. .−
−−
−
=
==
=
−
−−
−
+
++
+
⋅
⋅⋅
⋅ −
−−
− −
−−
− ⋅
⋅⋅
⋅
• Bereich SP
2
:
Bedingung:
σ
σ
σ
0 1
1
+
−
>
t y
(
)
σ σ σ
t y
t t
E
E
E
E
+ − ⋅ − ≤
1 0
1 1
1
ε
εε
ε ε
εε
ε
Stab
el pl
t
t
y
E E
E E
2
1
1
. .−
−−
−
=
==
=
−
−−
−
+
++
+
⋅
⋅⋅
⋅
Bereich des „plastischen Einspielens“:
Bedingung:
(
)
σ σ σ
t y
t t
E
E
E
E
+ − ⋅ − >
1 0
1 1
2
ε
εε
ε
Stab
el pl
2
0
. .
−
−−
−
=
==
=
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
60
3.9.3.2. Fall C
2
: Sekundärspannung um ¼ Phase verschoben
Die Phasenverschiebung der Sekundärspannung um ¼ Zyklus macht das nachstehende
Belastungshistogramm deutlich (Abbildung 50). Abbildung 51 zeigt die elastisch-plas-
tischen Dehnungen im eingespielten Zustand bei festgesetzem Materialparameter und
der üblichen Variation über die Belastungsparameter. Die Abbildung 52 gibt Aufschluss
über die zum Einspielen benötigten Zyklen. Hierbei ist zu erkennen, dass in den
Bereichen S
R
, S
3
und P
1
hohe Zyklenzahlen zum Einspielen benötigt werden. In diesen
Bereichen entstehen plastische Dehnungsakkumulationen und sind damit Ratcheting-
bereiche. Der Fall C
2
ist der erste Fall, der einen Ratchetingbereich (S
R
) mit der
Eigenschaft des elastischen Einspielens unterhalb des Verfestigungsparameters auf der
Primärspannungsachse eröffnet. Weiterhin ist zu erkennen, dass im Bereich S
1A
die el.-
pl. Dehnungswerte unabhängig von der Sekundärspannung sind (waagerechter Deh-
nungsverlauf über die Sekundärspannung). Aus den in Abbildung 51 dargestellten
Bereichsverläufen konnte das in Abbildung 53 dargestellte Ratchetig-Interaktions-
diagramm hergeleitet werden.
0
1
4
1
2
3
4
1
1
1
4
1
1
2
1
3
4
2
2
1
4
2
1
2
2
3
4
3
n
n
1
4
n
1
2
n
3
4
n +
++
+ 1
0
1
4
1
2
3
4
1
1
1
4
1
1
2
1
3
4
2
2
1
4
2
1
2
2
3
4
3
n
n
1
4
n
1
2
n
3
4
n +
++
+ 1
σ
σσ
σ
zyklische Primärspannung
t
zyklische Sekundärspannung
tt
σ
σσ
σ
σ
0
σ
t
Zeitsprung
n = Zyklenzahl
Ein Zyklus
Phasenverschiebung um ¼ Zyklus
Abbildung 50: Belastungshistogramm für Lastfall C
2
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
61
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
11,0
12,0
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
Abbildung 51: el.-pl. Dehnungen des Stabes 2 im eingespielten Zustand im Fall C
2
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
11,0
12,0
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
Abbildung 52: benötigte Zyklen zum Erreichen der Dehnungen Abbildung 51
ε
ε
Stab
el pl
y
2
. .−
σ
σ
t
y1
σ
σ
0
1y
E
E
t1
0 1= ,
P
2
P
1
S
R
S
1A
S
1B
S
2
S
3
E
n
σ
σ
0
1y
σ
σ
t
y1
E
E
t1
0 1= ,
P
2
S
R
S
1A
S
1B
E
S
2
S
3
P
1
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
62
3,0
2,0
1,0
1,0
0
0
σ
σσ
σ
σ
σσ
σ
0
1y
σ
σσ
σ
σ
σσ
σ
t
y1
E
E
t1
E
S
1A
11,0
10,0
9,0
8,0
7,0
6,0
5,0
4,0
σ
σ
t
y
t
f
E
E
1
1
=
S
2
P
2
Werte bei gewähltem E
t1
/E:
E
E
t1
σ
σ
t
y1
0,05 20,10
0,10 10,18
0,20 5,33
0,30 3,80
S
1B
S
3
P
1
S
R
P
S
Abbildung 53: Ratcheting-Interaktionsdiagramm für Fall C
2
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
63
Das Strukturverhalten in den in Abbildung 53 dargestellten Bereichen kann wie folgt
charakterisiert werden:
elastisches Einspielen:
• Bereich S
1A
: Stab 1 erhält im 1. Halbzyklus und im 3. Viertelzyklus
einmalig plastische Druckdehnung und verhält sich
danach nur noch elastisch.
Stab 2 erhält im 1. Halbzyklus einmalig plastische
Zugdehnung und verhält sich danach nur noch elastisch.
Nach dem 3. Viertelzyklus ist die Struktur elastisch
eingespielt. Der Bereich S
1A
zeigt ähnliches Verhalten
wie im Bereich S
1
vom Fall A
b
.
• Bereich S
1B
: Gleiches Verhalten wie im Bereich S
1A
, jedoch erhält
Stab 1 nur im 3. Viertelzyklus einmalig plastische
Druckdehnung.
• Bereich S
2
: Gleiches Verhalten wie im Bereich S
1
vom Fall A
b
(siehe
Strukturverhalten Fall A
b
).
• Bereich S
3
: Stab 1 erhält in jedem n ¼ -Zyklus (n = 1, 2, ...) und
Stab 2 in jedem ungeraden Halbzyklus plastische Zug-
dehnung mit Dehnungsakkumulation. Das Einspielen
mit immer kleiner werdenden Dehnungszuwächsen
endet mit elastischem Verhalten. Der Bereich S
3
stellt
somit einen Bereich des finiten Ratcheting mit der
Eigenschaft des „elastischen Einspielens“.
• Bereich S
R
: Stab 1 erhält in jedem n ¾ -Zyklus (n = 0, 1, ...) plas-
tische Druckdehnung mit Dehnungsakkumulation.
Stab 2 erhält im 1. Halbzyklus einmalig plastische Zug-
dehnung. Danach erhält der Stab 1 am Ende eines jeden
Vollzyklus plastische Druckdehnung mit Dehnungs-
akkumulation.
Da beide Stäbe nur noch im Druckbereich plastiziert
werden, kommt es zum hier benannten „rückläufigen
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
64
Ratcheting“. Die dabei auftretenden Dehnungszu-
wächse im Druckbereich werden immer kleiner bis
die Struktur elastisch eingespielt ist. Der Bereich S
R
stellt somit den 2. Bereich des finiten Ratcheting mit
der Eigenschaft des „elastischen Einspielens“.
plastisches Einspielen:
• Bereich P
1
: Stab 1 erhält in jedem n ¼ -Zyklus (n = 1, 2, ...) plas-
tische Zugdehnung mit Dehnungsakkumulation. Zu
einem späteren Zeitpunkt erhält Stab 1 zusätzlich in
jedem n ¾ -Zyklus (n ∈ N, n > 1) plastische Druck-
dehnung mit Dehnungsakkumulation.
Stab 2 erhält abwechselnd in jedem Halbzyklus plas-
tische Dehnung im Zug- und Druckbereich mit Deh-
nungsakkumulation.
Die Struktur spielt sich plastisch mit immer kleiner
werdenden plastischen Dehnungszuwächsen ein.
Der Bereich P
1
ist damit der Bereich des finiten Ratche-
ting mit der Eigenschaft des „plastischen Einspielens“.
• Bereich P
2
: Stab 1 bei jedem n ½ und n ¾ (n = 0, 1, ...) plastische
Druckdehnung und bei n und n ¼ (n = 1, 2, ...) plastische
Zugdehnung.
Stab 2 erhält in jedem Halbzyklus plastische Dehnungen
im Zug- bzw. Druckbereich.
Die Struktur ist nach dem 1. Halbzyklus „plastisch
eingespielt“.
Die in Abbildung 54 dargestellten elastisch-plastischen Dehnungen wurden für einen
Teilbereich des Interaktionsdiagrammes berechnet. In diesem Diagramm geht es haupt-
sächlich um die Dehnungsentwicklung über die Belastungen für den Bereich S
R
. Es ist
zu erkennen, dass die Dehnungswerte nicht von der Primärspannung abhängen.
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
65
Die Abbildung 55 zeigt eine Normierung der erreichten el.-pl. Dehnungen zum Fall A
b
.
1,74
1,78
1,82
1,86
1,90
1,94
1,98
0,20
0,16
0,12
0,08
0,04
0,00
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
Abbildung 54: el.-pl. Dehnungen im Bereich S
R
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
11,0
12,0
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
Abbildung 55: Normierung der erreichten el.-pl. Dehnungen zum Fall A
b
E
E
t1
0 1= ,
σ
σ
t
y1
σ
σ
0
1y
P
2
Maximum in S
1A
Maximum in S
1B
E
S
2
S
3
P
1
Maximum zw. P
1
u. S
3
ε
ε
Stab C
el pl
Stab A
el pl
b
2
2
2
,
. .
,
. .
−
−
σ
σ
t
y1
σ
σ
0
1y
E
E
t1
0 1= ,
P
1
S
2
S
3
S
R
S
1A
S
1B
ε
ε
Stab
el pl
y
2
. .−
waagerechter
Dehnungsverlauf über die
Primärspannung
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
66
Bei der Normierung der Dehnungen zum Fall A
b
wurde in den Bereichen S
1A
und S
1B
sowie auf der Grenze zwischen S
3
und P
1
ein Maximum festgestellt. Dieses Maximum
liegt immer unter 1,0. Damit überschreiten die el.-pl. Dehnungen des Lastfalles C
2
niemals die el.-pl. Dehnungen des Falles A
b
. Durch weitere Untersuchungen konnte eine
Dehnungsberechnung für diese Maximumstellen in Abhängigkeit des Falles A
b
aufgestellt werden, die wie folgt lautet:
ε ε
Stab C
el pl
t
t
Stab A
el pl
E E
E E
b
2
1
1
2
2
,
. .
,
. .− −
=
−
+
⋅ (gilt nur für die Maximumstellen Abb. 53).
Bei der Normierung der benötigten Zyklenzahlen (Abbildung 56) wurde eine sehr hohe
Überschreitung der Zyklenzahlen im Bereich S
R
zum Fall A
b
entdeckt. Ursache dafür ist
hier das erstmalige Auftauchen eines Ratchetingbereiches unterhalb des Parameter-
wertes der Verfestigung auf der Primärspannungsachse. Weitere Überschreitungen sind
im Bereich P
1
zu finden.
Ergänzend zu den Dehnungen der Abbildung 51 und der Abbildung 54 wurden in den
zwei nachfolgenden Diagrammen die Dehnungsverläufe über die Sekundärspannung bei
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
11,0
12,0
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Abbildung 56: Normierung der benötigten Zyklen zum Fall A
b
E
E
t1
0 1= ,
σ
σ
t
y1
σ
σ
0
1y
n
n
C
A
b
2
P
2
P
1
E
S
2
S
3
S
1B
Maximum in S
R
S
1A
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
67
unterschiedlichen Primärspannungen in zweidimensionaler Darstellung zusammenge-
stellt.
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0
Abbildung 57: el.-pl. Dehnungen des Stabes 2 im eingespielten Zustand im Fall C
2
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,74 1,78 1,82 1,86 1,90 1,94 1,98
Abbildung 58: el.-pl. Dehnungen für den in Abbildung 57 dargestellten Teilbereich
ε
ε
Stab
el pl
y
2
. .−
σ
σ
t
y1
E
E
t1
0 1= ,
σ
σ
t
y1
ε
ε
Stab
el pl
y
2
. .−
E
E
t1
0 1= ,
Teilbereich siehe Abbildung 58
σ σ
0 1
0 1
y
= ,
σ σ
0 1
0 2
y
= ,
σ σ
0 1
0 3
y
= ,
σ σ
0 1
0 4
y
= ,
σ σ
0 1
0 5
y
= ,
σ σ
0 1
0 6
y
= ,
σ σ
0 1
0 7
y
= ,
σ σ
0 1
0 8
y
= ,
σ σ
0 1
0 9
y
= ,
σ σ
0 1
1 0
y
= ,
σ σ
0 1
0 02
y
= ,
σ σ
0 1
0 04
y
= ,
σ σ
0 1
0 06
y
= ,
σ σ
0 1
0 08
y
= ,
σ σ
0 1
0 10
y
= ,
σ σ
0 1
0 12
y
= ,
σ σ
0 1
0 14
y
= ,
σ σ
0 1
0 16
y
= ,
σ σ
0 1
0 18
y
= ,
σ σ
0 1
0 20
y
= ,
P
1
S
R
S
1A
S
1B
S
3
S
2
S
1A
P
1
S
3
S
2
S
1A
und S
1B
P
2
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
68
3.9.3.3. Fall C
3
: Sekundärspannung um ½ Phase verschoben
Der Lastfall C
3
ist gekennzeichnet durch die beiden zyklischen Spannungen die gegen-
einander um einen halben Zyklus verschoben sind. Abbildung 59 zeigt den hier be-
handelten Lastfall.
Die erste Proberechnung, die nach üblicher Vorgehensweise bezüglich der ANSYS-
Programmierung durchgeführt wurde, ergab nach Abschluss des 1. Zyklus einschließ-
lich der Rücksetzung der Sekundärspannung für jede Stelle im Interaktionsdiagramm
keine bleibenden plastischen Dehnungen. Für einen normierten Sekundärspannungswert
bis 1,0 ist dieses Resultat unabhängig vom Wert der Primärspannung richtig. Steigt die
normierte Sekundärspannung über den Wert 1,0 kann man zumindest davon ausgehen,
dass durch das Superponieren der beiden momentan anliegenden Spannungen in der
Struktur innerhalb der Zyklen plastische Dehnungen auftreten. Eine genauere Unter-
suchung ergab, das die automatische Schrittweitensteuerung des Programms ANSYS
den Fall der beiden gegenläufig entwickelnden Spannungen nicht lösen kann. Bei der
Einführung benutzerdefinierter Schrittweiten konnte festgestellt werden, dass sich über
0
1
4
1
2
3
4
1
1
1
4
1
1
2
1
3
4
2
2
1
4
2
1
2
2
3
4
3 n
n
1
4
n
1
2
n
3
4
n +
++
+ 1
0
1
4
1
2
3
4
1
1
1
4
1
1
2
1
3
4
2
2
1
4
2
1
2
2
3
4
3
n
n
1
4
n
1
2
n
3
4
n +
++
+ 1
σ
σσ
σ
zyklische Primärspannung
t
zyklische Sekundärspannung
t t
σ
σσ
σ
σ
0
σ
t
Zeitsprung
n = Zyklenzahl
Ein Zyklus
Phasenverschiebung um ½ Zyklus
Abbildung 59: Belastungshistogramm für Lastfall C
3
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
69
dem elastischen Bereich (normierte Sekundärspannung größer 1,0) akkumulierte
plastische Dehnungen auftreten. Weiterhin war festzustellen, dass bei Verfeinerung der
Schrittweiten die im Einspielzustand akkumulierten plastischen Dehnungen größer
werden. Die nachstehende Untersuchung behandelt daher die Verfeinerung der Schritt-
weiten mit dem Ziel, herauszufinden, ob sich die el.-pl. Dehnungen im eingespielten
Zustand mit steigender Verfeinerung auf einen Wert einpegeln. Die Abbildung 60 zeigt
die eingeführten Berechnungsschrittweiten im Belastungshistogramm. In der ANSYS-
Programmierung wurden für jede Schrittweite die Belastungen neu angesetzt und eine
Berechnung an der Struktur durchgeführt. Die feinste berechnete Teilung beträgt ein-
fünfhundertstel. Die Abbildungen 61 und 62 zeigen die Berechnungen mit unter-
schiedlichen Schrittweiten. Dabei wurde der Primärspannungs- und der Verfestigungs-
parameter konstant festgesetzt. In Abbildung 61 ist zu erkennen, dass sich die el.-pl.
Dehnungen im eingespielten Zustand bei Verfeinerung der Schrittweiten einem spe-
ziellen Dehnungsverlauf nähren. Bei einem normierten Sekundärspannungswert von 4,0
ist festzustellen, dass die el.-pl. Dehnung im Eingespielten Zustand gleich Null ist, dafür
aber einige Belastungszyklen gebraucht wurden. Hierbei wurde herausgefunden, dass
σ
σσ
σ
t
σ
σσ
σ
σ
0
σ
t
1 (bisher bewährte Schrittweite)
1 (bisher bewährte Schrittweite)
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
i
1
i
1
i
1
i
1
i
1
i
1 Zyklus
t
i=(10-500) i=(10-500)
Abbildung 60: Berechnungsschrittweiten im Belastungshistogramm des Fall C
3
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
70
zwar innerhalb der Berechnungsschleifen Dehnungsakkumulationen bis zum Ein-
spielzustand auftreten, aber durch das Zurücksetzen beider Spannungen nach der Be-
rechnungsschleife (siehe Abbildung 59, nach Zeitsprung) die Dehnungen in der Struktur
sich so einstellen, dass die Summe der elastischen und der plastischen Dehnungskom-
ponente im Stab 2 gleich Null ergibt.
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
1 (keine Teilung)
einfünftel
einzehntel
einfünfzigstel
einhundertstel
einfünfhundertstel
Abbildung 61: Annäherung an die el.-pl. Dehnungen im Stab 2 im Fall C
3
0
5
10
15
20
25
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
1 (keine Teilung)
einfünftel
einzehntel
einfünfzigstel
einhundertstel
einfünfhundertstel
Abbildung 62: Annäherung an benötigte Zyklen für die Dehnungen der Abbildung 61
ε
ε
Stab
el pl
y
2
. .−
σ
σ
t
y1
σ
σ
t
y1
σ
σ
0
1
1
0 8 0 1
y
t
E
E
= =, , ,
n
σ
σ
0
1
1
0 8 0 1
y
t
E
E
= =, , ,
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
71
3.9.3.4. Fall C
4
: Primär- und Sekundärspannung alternieren
Das Alternieren der beiden Spannungen bedeutet, dass sich Primärspannung und die
Sekundärspannung innerhalb eines Zyklus einander ablösen. Die Abbildung 63 zeigt die
alternierenden Spannungen im Belastungshistogramm. Bei einem normierten Sekundär-
spannungswert über 1,0 kann das Strukturverhalten wie folgt beschrieben werden:
Nach dem 1. Halbzyklus der sich rein elastisch auf die Struktur auswirkt erhält
Stab 1 im 2. Halbzyklus plastische Druckdehnung und Stab 2 plastische Zug-
dehnung. Im 3. Halbzyklus erhält Stab 1 plastische Zugdehnung (oder bleibt
elastisch, primärspannungsabhängig) wobei Stab 2 elastisch bleibt. In den
weiteren Zyklen wiederholen sich die Vorgänge des 2. und 3. Halbzyklus ohne
dem Auftreten von Dehnungsakkumulationen.
Nach jedem abgeschlossenen Zyklus bleiben keine elastisch-plastischen Dehnungen in
der Struktur zurück. Ohne weitere Untersuchungen kann hier festgestellt werden:
Der Fall C
4
erzeugt im Zwei-Stab-System kein Ratcheting und hinterlässt
nach Zyklusabschluss keine plastischen Verzerrungen.
0
1
4
1
2
3
4
1
1
1
4
1
1
2
1
3
4
2
2
1
4
2
1
2
2
3
4
3 n
n
1
4
n
1
2
n
3
4
n +
++
+ 1
0
1
4
1
2
3
4
1
1
1
4
1
1
2
1
3
4
2
2
1
4
2
1
2
2
3
4
3
n
n
1
4
n
1
2
n
3
4
n +
++
+ 1
σ
σσ
σ
zyklische Primärspannung
t
zyklische Sekundärspannung
t t
σ
σσ
σ
σ
0
σ
t
Zeitsprung
n = Zyklenzahl
Ein Zyklus
Abbildung 63: Belastungshistogramm für Lastfall C
4
H. Huhn / Diplomarbeit / „Anwendung einer vereinfachten FZT auf das Bree-Rohr“
72
4. Anwendung einer vereinfachten Fließzonentheorie auf das
Bree-Rohr
4.1. Das Bree-Modell
1966 untersuchte der Wissenschaftler J. Bree das Dehnungsverhalten eines dünn-
wandigen Rohres unter konstantem Innendruck und einer zyklischen Belastung als
Temperaturgradient über die Wanddicke des Rohres [13]. Grund dieser Untersuchung
gab zu dieser Zeit das aktuelle Ratchetingproblem an Rohrstrukturen bei der Her-
stellung von nuklearen Reaktoren (Kühlsysteme). Da Bree zu seiner Zeit nur die analy-
tische Vorgehensweise offen stand, ist es nicht verwunderlich, dass er grundsätzliche
Vereinfachungen einführen musste, um den Aufwand zu verringern. Er reduzierte das
Problem des konstant anliegenden Innendrucks darauf, dass dieser nur in Umfangs-
richtung des Rohres wirkte. Weiterhin vereinfachte er die Geometrie der Rohrstruktur,
indem er ein aus der Rohrwand herausgeschnittenes Teil als ein in Längsrichtung durch
den Innendruck beanspruchten Stab betrachtete, über den er quer den Temperatur-
gradient legte. Die Abbildung 64 zeigt Bree’s vereinfachtes Modell [13].
p
i
Längsschnitt Querschnitt
σ
σσ
σ
0
σ
σσ
σ
0
σ
σσ
σ
t
Abbildung 64: vereinfachtes Modell von Bree
H. Huhn / Diplomarbeit / „Anwendung einer vereinfachten FZT auf das Bree-Rohr“
73
Als Materialverhalten nahm er den Sonderfall des bilinearen Werkstoffmodells (Et = 0)
an. Bree reduzierte durch diese Vereinfachungen das Problem auf einen einachsigen
Spannungszustand bei linear elastisch-ideal plastischem Werkstoffverhalten.
Der Ratchetingfall am Bree-Rohr wurde bis heute von weiteren Wissenschaftlern
akribisch untersucht und erweitert. Die hier vorliegende Untersuchung dient vor allen
Dingen der Anwendung einer vereinfachten Fließzonentheorie auf eine diskrete Rohr-
struktur (FE-Modell) im mehrachsigen Spannungszustand unter monotoner Belastung.
Der grundlegende Unterschied zum Ansatz von Bree liegt in der Verwendung eines
verfestigenden Werkstoffes und der zusätzlichen Betrachtung des Innendrucks in
rohraxialer Richtung.
Bevor jedoch auf die Generierung des FE-Netzes eingegangen wird, sollen zunächst
einige Grundlagen zu mehrachsigen Spannungszuständen und zur vereinfachten Fließ-
zonentheorie dargestellt werden.
4.2. Werkstoffverhalten bei dreiachsigen Spannungszustand und
monotoner Belastung
Der hier vorgestellte Abschnitt basiert auf der Literatur [4], [11], [15] und [16].
An einem infinitesimal kleinen würfelförmigen Volumenelement der Kantenlänge di
(i=x, y, z), das durch sechs Schnitte aus einem allgemein beanspruchten Werkstoffteil
herausgetrennt wird, wirken Normalspannungen und Schubspannungen. Die allgemeine
Form des dreiachsigen Spannungszustandes ist in Abbildung 65 dargestellt.
σ
x
σ
z
σ
y
σ
xy
σ
zx
σ
yz
σ
yx
σ
zy
σ
xz
dx
dz
dy
Abbildung 65: allgemeine Form des dreiachsigen Spannungszustandes
H. Huhn / Diplomarbeit / „Anwendung einer vereinfachten FZT auf das Bree-Rohr“
74
Die Normalspannungen σ
i
wirken senkrecht zu den Schnittflächen und werden durch
Indices gekennzeichnet, die den Achsenrichtungen ihrer Wirkungslinien entsprechen.
Die Schubspannungen σ
ij
wirken in der Ebene der Schnittflächen und werden durch
zwei Indizies gekennzeichnet, wobei der erste die Richtung der Flächennormalen und
der zweite die der Schubspannung selbst angibt. Identisch zum dreiachsigen Spannungs-
zustand wird der räumliche Verzerrungszustand hergeleitet. Mit diesen neun Span-
nungs- und Dehnungskomponenten lässt sich der Spannungszustand bzw. der räumliche
Verzerrungszustand in den folgenden Matrizen darstellen:
~
~
σ
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
=
x xy xz
yx y yz
zx zy z
und
~
~
ε
ε γ γ
γ ε γ
γ γ ε
=
x xy xz
yx y yz
zx zy z
.
Dabei wird die Gleitung γ über die Schubdehnung ε
ij
definiert:
γ ε
ij
def
ij
= ⋅
.
2 (i, j=x, y, z).
Durch den Ansatz dreier Gleichgewichtsbedingungen für räumliche Kräftegruppen
ergibt sich die paarweise Zuordnung der Schubspannungen und daraus abgeleitet die
Gleitungen bzw. Schubdehnungen:
σ
σ
γ
γ
ε
ε
ij ji ij ji ij ji
=
=
⇒
=
;
.
Die Spannungs- und Dehnungszustände können mit nur jeweils 6 Komponenten als
Vektoren formuliert werden:
~
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
=
x
y
z
xy
xz
yz
und
~
ε
ε
ε
ε
γ
γ
γ
=
x
y
z
xy
xz
yz
.
Über die Elastizitätsmatrix lassen sich die Spannungs- und Dehnungskomponenten
miteinander verknüpfen. Man nennt diesen Zusammenhang auch das „Hooke’sche
Gesetz“.
Zeichenerklärung:
~
σ
,
~
ε
einstufige Matrix
(Spaltenvektor)
~
~
E
zweistufige Matrix
H. Huhn / Diplomarbeit / „Anwendung einer vereinfachten FZT auf das Bree-Rohr“
75
~
~
~
~
.
ε
σ
el
E
=
⋅
−1
.
Diese Elastizitätsmatrix beinhaltet die Elastizitätsmoduln und Schubmoduln in Abhän-
gigkeit der Querdehnung in den einzelnen Richtungen. Sie lautet bei isotropem Werk-
stoff:
(
)
( )
( )
~
~
E
E
−
=
−
−
− −
− −
+
+
+
1
1
1 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0 2 1 0 0
0 0 0 0 2 1 0
0 0 0 0 0 2 1
ν
ν
ν ν
ν ν
ν
ν
ν
.
Bei der Suche nach den extremalen Normalspannungen ist es im allgemeinen Fall
unumgänglich, die Schnittrichtungen des infinitesimalen Volumenelements zu ändern.
Sind die extremalen Normalspannungen, die auch Hauptspannungen genannt werden,
gefunden, verschwinden die Schubspannungen in den Schnittebenen. Die Abbildung 66
zeigt die Darstellung des Volumenelements mit Hauptspannungen.
σ
x
σ
z
σ
y
σ
xy
σ
zx
σ
yz
σ
yx
σ
zy
σ
xz
dx
dz
dy
⇒
⇒⇒
⇒
σ
σσ
σ
3
σ
σσ
σ
1
σ
σσ
σ
2
Abbildung 66: Transformation des allgem. Spannungszustandes in den Hauptspannungszustand
H. Huhn / Diplomarbeit / „Anwendung einer vereinfachten FZT auf das Bree-Rohr“
76
Die Hauptspannungen sowie auch die Dehnungen können aus ihren Komponenten der
folgenden kubischen Gleichungen ermittelt werden (i = 1, 2, 3):
det ,
σ σ σ σ
σ σ σ σ
σ σ σ σ
x i xy xz
xy y i yz
xz yz z i
−
−
−
= 0
det .
ε ε ε ε
ε ε ε ε
ε ε ε ε
x i xy xz
xy y i yz
xz yz z i
−
−
−
= 0
Sind die Hauptspannungen und Hauptdehnungen bekannt, kann die Vergleichsspannung
und Vergleichsdehnung, gebildet über die von Mises-Formel nach der Hypothese der
maximalen Gestaltänderungsenergie, berechnet werden:
(
)
(
)
(
)
[
]
σ σ σ σ σ σ σ
V
= − + − + −
1
2
1 2
2
2 3
2
3 1
2
,
(
)
(
)
(
)
[
]
ε
ν
ε ε ε ε ε ε
V
=
+
⋅ − + − + −
1
1
1
2
1 2
2
2 3
2
3 1
2
.
Neben dieser Hypothese zur Ermittlung der Vergleichsspannung ist noch die Hypothese
der maximalen Schubspannung von Tresca geläufig.
Der isochore Vorgang des Plastizierens setzt ein, wenn die aus den Spannungskom-
ponenten ermittelte Vergleichsspannung die jungfräuliche Fließgrenze des Werkstoffes
überschreitet. Diese Fließbedingung kann wie folgt angesetzt werden:
σ
σ
V y
≥
.
Ist diese Bedingung erfüllte, erfolgt die weitere Beschreibung des Werkstoffverhaltens
mit Hilfe der klassischen Plastizitätstheorie. Hierbei werden kleine Verzerrungen und
die Additivität der Dehnungsarten vorrausgesetzt. Wie schon oben erwähnt, handelt es
sich beim Plastizieren um einen isochoren Vorgang, dass heißt: Für die plastischen Deh-
nungsanteile gilt Volumenkonstanz, was einer Querdehnungszahl ν
pl.
= 0,5 entspricht.
H. Huhn / Diplomarbeit / „Anwendung einer vereinfachten FZT auf das Bree-Rohr“
77
Der plastische Vorgang ist unabhängig von dem in einem Spannungszustand vorhan-
denen hydrostatischen Spannungzustand, so dass der eigentliche plastische Vorgang
vom abweichenden Spannungszustand bezüglich des hydrostatischen Spannungszu-
standes beschrieben wird. Dieser abweichende Spannungszustand wird als Spannungs-
deviator σ′
i
bezeichnet und wird für die Hauptspannungen wie folgt definiert:
(
)
′
= − + + =
σ σ σ σ σ
i i
i
1
3
1 2 3
1 2 3
; , ,
Mit Kenntnis der deviatorischen Hauptspannungen und der Streckgrenze bei ein-
achsigem Spannungszustand kann mit Hilfe der Mises-Fließbedingung die noch jung-
fräuliche Fließfläche beschrieben werden:
(
)
σ σ σ σ σ
y V
= =
′
+
′
+
′
3
2
1
2
2
2
3
2
.
Unter Vorraussetzung kinematischer Verfestigung wird bei Spannungszuständen im
plastischen Bereich diese Fließfläche im Spannungsraum verschoben. Diese Verschie-
bung wird durch Translationstensor ξ
i
ausgedrückt. Damit lautet die Fließfläche im ver-
schobenen Zustand über den deviatorischen Tensor der reduzierten Hauptspannung (σ
i
-
ξ
i
) wie folgt:
(
)
(
)
(
)
[
]
σ σ ξ σ ξ σ ξ
y
=
′
−
′
+
′
−
′
+
′
−
′
3
2
1 1
2
2 2
2
3 3
2
.
Innerhalb dieser kreisförmigen Fließfläche im deviatorischen Spannungsraum ist nur
elastisches Materialverhalten möglich. Außerhalb der Fließfläche können keine Span-
nungszustände entstehen, da der sich bereits auf der Fließfläche befindliche und größer
werdende Spannungszustand die Fließfläche, wie schon erwähnt, lediglich verschiebt.
Unter Ansatz des bilinearen Werkstoffmodells können die folgenden Zusammenhänge
zwischen Vergleichsspannung und Vergleichsdehnung wie folgt definiert werden:
ε
σ
ε
σ
σ
σ σ
V
el
V
V
pl
V y
V y
E
C
wenn
. .
, ; ,= =
−
≥
ε ε ε
V
el pl
V
el
V
pl. . . .
−
= + .
H. Huhn / Diplomarbeit / „Anwendung einer vereinfachten FZT auf das Bree-Rohr“
78
4.3. Vereinfachte Fließzonentheorie nach der Zarka-Methode
4.3.1. Funktionsweise der Zarka-Methode
Die vereinfachte Fließzonentheorie nach der Berechnungsmethode des französischen
Wissenschaftlers Zarka ist ausführlich in der Literatur [4], [6] und [15] von Professor
Hübel in deutscher Sprache aufgearbeitet und erweitert worden. Auf Grund der theore-
tischen Tiefe der Methode wird hier nur ein kurzer Umriss zum Verständnis des
Prinzips der Methode im Fall monotoner Laststeigerung dargestellt. Grundlage der Me-
thode legt das bilineare Werkstoffmodell. Das Grundprinzip besteht in der Durchfüh-
rung rein elastizitätstheoretischer Berechnungen, die sich iterativ an das exakte Ergeb-
nis einer elastisch-plastischen Berechnung annähern. Dazu ist es notwendig, das elas-
tisch-plastische Problem in ein geeignet formuliertes elastisches Problem zu überführen,
so dass wie oben erwähnt diese modifizierten elastizitätstheoretischen Berechnungen
durchgeführt werden können. Dabei werden die Werkstoffparameter (nach Hooke’-
schem Gesetz) und die Belastungen (in Form von Anfangsdehnungen) modifiziert. Da
eine Struktur teilweise plastizieren kann, stellt sich hier die Frage, wo und wie die Mo-
difizierungen des Werkstoffes und der Belastungen in der Struktur angesetzt werden.
Hier setzt Zarka an den Anfang der Berechnungen eine fiktiv elastische Berechnung mit
den original elastischen Werkstoffparametern und Belastungen. Da diese fiktiv elas-
tische Berechnung keine Spannungsumlagerungen infolge plastizierter Bereiche berück-
sichtigt, dient sie lediglich als sehr grobe Startberechnung zur Einschätzung der plas-
tischen und elastischen Bereiche (Volumina). Die Einschätzung erfolgt über den Ver-
gleich der Vergleichsspannung zu der Streckgrenze des bilinearen Werkstoffgesetzes an
jeder Stelle der Struktur. Die Ungleichungen zur ersten groben Abschätzung der Volu-
mina lauten:
V wenn und V wenn
e V
f el
y p V
f el
y
σ σ σ σ
. . . .
< ≥ .
Nach Kenntnis der beiden grob approximierten Teilvolumina werden nur in den plas-
tischen Volumina an jeder Stelle der Struktur die Werkstoffparameter wie folgt modi-
fiziert:
(
)
E E und
E
E
t
t
* *
, ,= = − − ⋅
1
1
0 5 0 5
ν ν
.
H. Huhn / Diplomarbeit / „Anwendung einer vereinfachten FZT auf das Bree-Rohr“
79
Die Belastungen werden gleichfalls an jeder Stelle im plastischen Volumen in Form von
Vordehnungen ε
i,0
durch die folgende Abschätzung von Zarka modifiziert:
ε
σ
σ
σ
i
i
f el
y
V
f el
C
,
,max
. .
. .
0
3
2
1=
⋅
′
⋅
⋅ −
.
Mit diesen Veränderungen in den plastischen Volumina wird die erste modifizierte elas-
tische Berechnung durchgeführt. Dabei ist darauf zu achten, dass die tatsächlichen Be-
lastungen durch die Vordehnung interpretiert sind und nicht mit angesetzt werden. Die
statischen und kinematischen Randbedingungen bleiben jedoch unverändert. Das
Ergebnis der modifizierten elastischen Berechnung ist die Restspannung ρ
i
. Die
Komponenten dieser Restspannung werden zu den Komponenten der Spannung der
fiktiv elastischen Berechnung an jeder Stelle der Struktur addiert. Die aus diesen Sum-
men der Komponenten ermittelte Vergleichspannung kann durch eine hier eingeführte
zweite Voluminaprüfung zur Streckgrenze verglichen werden:
V
wenn
und
V
wenn
e V y p V y
σ
σ
σ
σ
≤
>
.
Ab der Einführung der zweiten Voluminaprüfung schließt sich der Iterationskreis und es
können so viele modifizierte elastische Berechnungen angeschlossen werden, bis von
einem Iterationschritt zum anderen keine Änderungen bezüglich der elastischen und
plastischen Volumina mehr auftreten.
Aus den Untersuchungen von Glede [1] ist bekannt, dass sich die Ergebnisse nach der
ersten modifizierten elastischen Berechnung schon stark den Ergebnissen einer exakten
Berechnung annähern. Bei weiteren Iterationen und der Anwendung der Zarka-Methode
auf eine diskontinuierliche Struktur (FE-Modell) stellte Glede fest, dass sich eine immer
kompliziertere fraktalgeometrische Fließzone einstellt, die nicht mehr realistisch ist.
4.3.2. Anwendung der Zarka-Methode auf eine diskretisierte Struktur
Die Zarka-Methode ist in ihrer ursprünglichen Konzeption für kontinuierliche Struk-
turen ausgelegt. Die Theorie der Methode geht von der Möglichkeit der Modifizierung
der Werkstoffparameter und der Belastung an jeder Stelle der Struktur aus. Da das FE-
Netz eine diskretisierte Struktur besitzt, können die Werkstoffdaten nur elementweise
H. Huhn / Diplomarbeit / „Anwendung einer vereinfachten FZT auf das Bree-Rohr“
80
angegeben werden. Bezüglich der Vordehnungen, die über den Ansatz von Tempe-
raturen simuliert werden können, ist festzustellen, dass das Programm ANSYS hier nur
das Aufbringen an den Knoten zulässt. Die aufgetragenden Vordehnungen in den Kno-
ten stehen also nicht mit den elementweise konstanten Werkstoffdaten in Beziehung.
Ein weiteres Problem besteht in der skalaren Größe der Temperatur. Sie ist ungerichtet
und damit für die Definition der unterschiedlichen deviatorischen Vordehnungen im
isotropen Werkstoff und den ersten Blick ungeeignet. Die Veränderung der Temperatur-
ausdehnungskoeffizienten in die unterschiedlichen Richtungen ist die wahrscheinlich
einzige Möglichkeit, die Vordehnungen in die unterschiedlichen Richtungen wertbe-
zogen zu steuern. Die Temperaturausdehnungskoeffizienten lassen sich über das Ver-
hältnis der über das Element gemittelten deviatorischen Hauptspannungen zueinander
wie folgt ausdrücken [17]:
α α α
σ
σ
σ
σ
x y z
f el
f el
f el
f el
: : : :
. .
. .
. .
. .
=
′
′
′
′
1
2
1
3
1
.
Da die Hauptspannungen im Fall des Bree-Rohrs in Richtung der Temperaturausdeh-
nungskoeffizienten orientiert sind, ist die weitere Betrachtung einer Verdrehung eines
zuvor definierten Elementkoordinatensystems hier nicht notwendig.
4.4. Simulation der Rohrstruktur mittels des ANSYS-Elementtyps
Plane 42
Das Programm ANSYS bietet vielfältige Elementtypen zur Lösung spezifischer
Probleme an. Da in dem hier betrachteten rotationssymmetrischen Fall bei Vernach-
lässigung von Endeffekten (z.B. Biegung an den Rohrenden infolge Behinderung der
Aufweitung durch die Endscheiben) an jedem Wandteilstück des Rohres im Querschnitt
die gleichen Ergebnisse zu erwarten sind, ist es nicht unbedingt notwendig, die Struktur
über die angebotenen Rohr-Elementtypen zu simulieren. Der Elementtyp Plane 42, ein
ebenes 4-Knoten-Viereck-Element, ist mit der Option einer rotationssymmetrischen
Definition für die Untersuchung des Bree-Falles völlig ausreichend und in Bezug auf die
H. Huhn / Diplomarbeit / „Anwendung einer vereinfachten FZT auf das Bree-Rohr“
81
Anwendung der Zarka-Methode auf ein FE-Netz fast problemlos programmierbar (siehe
Abschnitt 4.3.2.). Bei der Definition der rotationssymmetrischen Struktur über das Plane
42 muss beachtet werden, dass die X-Achse die radiale Achse, die Y-Achse die axiale
Achse und die Z-Richtung die Umfangsrichtung bilden. Weiterhin ist zu be-achten, dass
die komplette Struktur in den positiven X-Quadranten modelliert wird [11]. Da das
Problem des Bree-Falls von einer dünnwandigen Rohrgeometrie ausgeht, muss das
Verhältnis von Rohrwanddicke zum mittleren Rohrdurchmesser sehr klein sein. Die
Abbildung 67 zeigt den aus dem Rohr herausgeschnittenen und für die Be-rechnungen
betrachteten Strukturteil.
Wie in Abbildung 67 zu erkennen, wurden über die Rohrwanddicke 200 Elemente ge-
legt. Diese sehr feine Einteilung soll bei der Anwendung der Zarka-Methode zu ge-
nauen Ergebnissen führen. Durch die in der oberen Knotenreihe (K202-K402) einge-
führte Knotenkopplung wird erreicht, dass diese Knoten in Y-Richtung alle die gleiche
Verschiebung erfahren, wodurch die Stützwirkung benachbarter Querschnitte simuliert
wird, so dass in Y-Richtung eine einzige Elementreihe genügt. Weiterhin macht es die
Knotenkopplung leichter, den in axialer Richtung wirkenden Innendruck gleich über die
E1
E2
E200
E199
E101
E100
K1 K2 K3
K401K400K303K302K301K204K203K202
K201K200K199K102K101K100
K402
10
p
i
Knotenkopplung in
axialer Richtung
Bewegungsfreiheit
der Gesamtstruktur
N
ax
∆Τ
10
10/E
t
R
=2000
R
i
D
m
x (
radial)
y (
axial)
p
i
QuerschnittLängsschnitt
um 90° gedreht
R
i
t
R
D
m
R
i
Rohrradius, innen
D
m
Durchmesser,
Mitte Rohrwand
t
R
Rohrwanddicke
Dünnwandigkeit:
t
D
e
R
m
= −1 4
Abbildung 67: Bree-Rohr-Simulation über die Finite-Element-Methode
H. Huhn / Diplomarbeit / „Anwendung einer vereinfachten FZT auf das Bree-Rohr“
82
Elemente zu verteilen. Der radial wirkende Innendruck wird als Oberflächenlast an der
definierten vierten Seite des Elements 1 angesetzt. Um die Ausdehnung des Rohres in
Umfangsrichtung und damit auch in radialer Richtung freizugeben, wurden die Frei-
heitsgrade der unteren Knotenreihe (K1-K201) nur in axialer Richtung gesperrt.
4.5. Belastungsberechnungen für die Eingabe der Belastungsparame-
ter
Wie schon am Zwei-Stab-System werden auch hier fiktiv elastisch berechnete Belas-
tungsparameter zum Auftragen der Belastungen verwendet. Da der Innendruck über den
Abschluss an den Stirnseiten des Rohres in Längsrichtung und in Umfangsrichtung der
Rohrwandung wirkt, muss der Parameter für die Innendruckbelastung über die Mises-
Vergleichsspannung berechnet werden. Die Wirkung des Innendrucks kann in die be-
trachteten Richtungen wie folgt berechnet und untereinander in Abhängigkeit gebracht
werden:
Umfangsrichtung über Kesselformel:
σ
U
i m
R
p D
t
=
⋅
⋅2
.
Längsrichtung über Rohrabschluss:
σ
L
i m
R
p D
t
=
⋅
⋅4
.
Abhängigkeit der Spannungskomponenten:
σ σ
L U
=
1
2
.
Mises-Vergleichsspannung für den zweiachsigen Spannungszustand:
σ σ σ σ σ
V U U U U
= −
+ +
1
2
1
2
1
2
2
2
2
.
Für die Vergleichsspannung kann hier der Belastungsparameter für die Primär-
spannung eingeführt werden:
H. Huhn / Diplomarbeit / „Anwendung einer vereinfachten FZT auf das Bree-Rohr“
83
σ σ σ
0
3
2
= =
V U
.
Für das ANSYS-Eingabeprotokoll ergibt sich:
• Oberflächenlast Seite 4 Element 1 (für Wirkung in Umfangsrichtung):
p
t
D
i
R
m
=
⋅
⋅
⋅
4
3
0
σ
(siehe Eingabeprotokolle im Anhang Kap. 7)
⇒ pinnen=4*tR*S0zuSY*SY/Dm/SQRT(3)
• Knotenlast K202 über Knotenkopplung verteilt (Längsrichtung):
N
D t
ax
m R
=
⋅
⋅
⋅
Π
σ
0
3
(siehe Eingabeprotokolle).
⇒ Nax=PI*Dm*tR*S0zuSY*SY/SQRT(3)
Für die Berechnung des Temperaturabfalls ∆T gilt gleichfalls der Ansatz über die
Mises-Vergleichsspannung. Da die Temperatur ungerichtet wirkt, gilt an jeder Stelle x:
( )
ε ε ε ε ε α
x
th
y
th
z
th th
x
th
t
x
T= = = =; .
Da in Y- und Z-Richtung gilt:
ε ε ε ε ε ε
y y
el
y
th
z z
el
z
th
= + = = + =
. .
;0 0,
können nach der Verknüpfung von Dehnung und Spannung über die Elastizitätsmatrix
mit den folgenden Zusammenhängen die Spannungskomponenten ermittelt werden:
(
)
ε σ ν σ
y
th
y z
E
= ⋅ − ⋅
1
und
(
)
ε σ ν σ
z
th
z y
E
= ⋅ − ⋅
1
.
Über das Einsetzungsverfahren:
(
)
(
)
σ
ν
ε ν ε
ν
ε ν
y y
th
z
th th
E E
=
−
⋅ + ⋅ =
−
⋅ ⋅ +
1
1
1
2 2
,
(
)
(
)
σ
ν
ε ν ε
ν
ε ν
z z
th
y
th th
E E
=
−
⋅ + ⋅ =
−
⋅ ⋅ +
1
1
1
2 2
.
⇒
(
)
( )
σ σ
ν
α
y z t
x
E
T= =
−
⋅ ⋅
1
.
H. Huhn / Diplomarbeit / „Anwendung einer vereinfachten FZT auf das Bree-Rohr“
84
Da die Komponenten gleich sind gilt:
σ
σ
σ
y z V
=
=
.
Als Belastungsparameter wird die Vergleichsspannung an den beiden Ober-
flächen eingeführt:
(
)
σ
ν
α
t t
E
T=
⋅ −
⋅ ⋅
2 1
∆
.
Die Simulation des Temperaturgradienten erfolgt in der ANSYS-Parametersprache
mittels einer Schleife über die 200 Elemente der Struktur mit einem Temperaturabfall
von:
(
)
∆
T
E
t
t
=
⋅
⋅
−
⋅
2 1
σ
ν
α
(siehe Eingabeprotokolle im Anhang).
⇒ deltaT=2*StzuSY*SY*(1-QDZahl)/E/alphaT
Alle weiteren Informationen zur Simulierung des Bree-Rohrs und der Implementierung
der Zarka-Methode sind den ANSYS-Eingabeprotokollen im Anhang zu entnehmen.
4.6. FE-Analysen am Bree-Rohr bei monotoner und zyklischer
Belastung
4.6.1. Fließzonen nach Zarka bei monotoner Belastung
Die hier vorliegende Untersuchung widerspiegelt die Aussagekraft der Zarka-Methode
hinsichtlich entstehender Fließzonen und unter Berücksichtigung ihrer Anwendung auf
eine diskontinuierliche Struktur (siehe Abschnitt 4.3.2.). Zum Vergleich dienen Ergeb-
nisse, die nach der exakten Fließzonentheorie berechnet wurden. Als einmalig ange-
setzte Belastungen wirken der Innendruck und der Temperaturgradient über die Rohr-
wandung. Zur Einschätzung der Fließzonen gilt für beide Theorien die Volumina-
prüfung nach Zarka:
V
wenn
und
V
wenn
e V y p V y
σ
σ
σ
σ
≤
>
.
H. Huhn / Diplomarbeit / „Anwendung einer vereinfachten FZT auf das Bree-Rohr“
85
Da die über ein FE-Netz simulierte Struktur sehr einfach gehalten ist, kann im voraus
das folgende Postulat gestellt werden:
Fließzonen entstehen am Innenrand, am Außenrand und vom Innen- oder Aussen-
rand her über die Mittelachse der Rohrwandung. Die Kombinationen des gleich-
zeitigen Auftretens dieser Fließzonenbereiche in der Struktur bilden unterschied-
liche Bereiche in einem Interaktionsdiagramm der beiden Belastungen.
Ausgehend von dieser Annahme wurden die in Abbildung 68 dargestellten Bereiche für
einen festgesetzten Verfestigungsparameter und nach der exakten Fließzonentheorie
aufgedeckt.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Abbildung 68: Bereiche unterschiedlicher Fließzonenausprägung im Interaktionsdiagramm
1,0
0
2,0
8,0
4,0
12,0
6,0
10,0
σ
σσ
σ
σ
σσ
σ
t
y1
σ
σσ
σ
σ
σσ
σ
t
y1
B2
B1
B3
B4
E
B1
B2
B3
B4
E
Elastischer Bereich:
Es entstehen keine Fließzonen.
Es entstehen Fließzonen am inneren und
äußeren Rand der Rohrwandung, jedoch
nicht über Rohrwandmitte.
Nur am äußeren Rand entsteht eine
Fließzone, die nicht über die Rohr-
wandmitte reicht.
Es erstreckt sich eine Fließzone vom
äußeren Rand bis über die Mitte der
Rohrwandung. Der innere Rand wird nicht
plastiziert.
Es entstehen Fließzonen vom äußeren Rand
bis ü
ber die Mitte und am inneren Rand der
Rohrwandung.
E
E
t1
0 1 0 3= =, ; ,
ν
0
H. Huhn / Diplomarbeit / „Anwendung einer vereinfachten FZT auf das Bree-Rohr“
86
Die weiteren Diagramme zeigen die Annäherungen über die Iterationen der Zarka-
Methode an die exakt berechneten Fließzonen. Hierfür wurde jeweils eine Analyse in
jedem der in Abbildung 68 dargestellten Bereiche durchgeführt.
0,6850,185
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,6350,135
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,6350,135
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Abbildung 69: Analyse zur Annäherung der Fließzonen über Zarka im Bereich 1
0,725
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,68
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,68
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Abbildung 70: Analyse zur Annäherung der Fließzonen über Zarka im Bereich 2
0. Iteration nach Zarka
1. Iteration nach Zarka
0. Iteration nach Zarka
1. Iteration nach Zarka
Fließzonen nac
h exakter FZT
Fließzone nach exakter FZT
Rohrwand, innen Rohrwand, außen
Rohrwandmitte
Rohrwand, innen Rohrwandmitte Rohrwand, außen
σ
σ
σ
σ
ν
0
1 1
1
0 3 2 0 0 1 0 3
y
t
y
t
E
E
= = = =, , , , , , ,
σ
σ
σ
σ
ν
0
1 1
1
0 5 1 2 0 1 0 3
y
t
y
t
E
E
= = = =, , , , , , ,
Fließzone
Fließzone
H. Huhn / Diplomarbeit / „Anwendung einer vereinfachten FZT auf das Bree-Rohr“
87
0,54
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,375
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,345
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,35
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,3550,345
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,345
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,35
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,3550,345
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,335
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Abbildung 71: Analyse zur Annäherung der Fließzonen über Zarka im Bereich 3
0. Iteration nach Zarka
1. Iteration nach Zarka
2. Iteration nach Zarka
3. Iteration nach Zarka
4. Iteration nach Zarka
5. Iteration nach Zarka
6. Iteration nach Zarka
7. Iteration nach Zarka
Fließ
zone nach exakter FZT
Rohrwand, innen Rohrwandmitte Rohrwand, außen
Fließzone
σ
σ
σ
σ
ν
0
1 1
1
0 9 1 6 0 1 0 3
y
t
y
t
E
E
= = = =, , , , , , ,
H. Huhn / Diplomarbeit / „Anwendung einer vereinfachten FZT auf das Bree-Rohr“
88
Für die Analyse im Bereich 1 und 2 (Abbildung 69 und 70) ist festzustellen, dass nach
der 1. Iteration der Zarka-Methode die Fließzonen exakt mit den Fließzonen der exakten
Berechnung übereinstimmen. Weitere Iterationen bringen immer die gleichen Ergeb-
nisse. Bei der Analyse im Bereich 3 (Abbildung 71) ist zu erkennen, dass sich das Er-
gebnis in der 3. Iteration vom exakten Ergebnis entfernt. Die 4. Iteration zeigt eine klei-
ne Fehlstelle in der Fließzone, die sich nach jeder 3. Iteration wiederholt. Bei der letzten
Analyse im Bereich 4 (Abbildung 72) zeigt sich schon nach der 2. Iteration eine sehr
0,530,37
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,3750,24
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,450,370,315
0,195
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,3750,25
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,450,370,310,195
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,3750,25
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,3650,27
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Abbildung 72: Analyse zur Annäherung der Fließzonen über Zarka im Bereich 4
0. Iteration nach Zarka
1. Iteration nach Zarka
2. Iteration nach Zarka
3. Iteration nach Zarka
4. Iteration nach Zarka
5. Iteration nach Zarka
Fließ
zonen nach exakter FZT
Rohrwand, innen Rohrwandmitte
Rohrwand, außen
σ
σ
σ
σ
ν
0
1 1
1
0 7 6 0 0 1 0 3
y
t
y
t
E
E
= = = =, , , , , , ,
Fließzone
H. Huhn / Diplomarbeit / „Anwendung einer vereinfachten FZT auf das Bree-Rohr“
89
große Fehlstelle in einer der beiden Fließzonen. Diese Unregelmäßigkeit tritt jede 2.
Iteration erneut auf. Solche Fehlstellen wurden schon in den Untersuchungen von Glede
[1] am Biegebalken entdeckt. Trotz der Veränderung zu Gledes Zarka-FEM-Pro-
grammierungen hinsichtlich der Entscheidung, ob in einem Element das modifizierte
Elastizitätsmoduls bei der modifiziert-elastischen Analyse eingesetzt wird, konnten hier
am Bree-Rohr keine spürbaren Ergebnisverbesserungen in Bezug auf das Entstehen der
Fehlstellen erkannt werden.
4.6.2. Dehnungen nach Zarka bei monotoner Belastung
Wie schon bei den Untersuchungen der Fließzonen nach Zarka werden in diesem Ab-
schnitt die Dehnungen für das einmalige Belasten durch den Innendruck und den Tem-
peraturgradienten ermittelt. Ein wichtiger Meßpunkt für die Einschätzung des Deh-
nungsverhaltens des Rohres liegt an der äußeren Rohrwand. Dort sind in Umfangs-
richtung die höchsten Dehnungswerte zu erwarten. Die hier vorliegende Untersuchung
beschränkt sich somit rein auf das elastisch-plastische Dehnungsverhalten des Knotens
201 in Z-Richtung (Umfangsrichtung). Weiterhin wird in diesem Abschnitt nur die 1.
und 2. Iteration der Zarka-Methode genauer untersucht. Bei der Programmierung der
exakten Berechnung wurde eine Extrapolation der elastischen und der plastischen Deh-
nungskomponenten zum äußeren Rand vorgenommen (siehe Eingabeprotokoll). Die
elastisch-plastischen Dehnungen nach der Zarka-Methode wurden für die Z-Richtung
wie folgt berechnet:
ε ε ε
z
el pl
z
el
z
pl. . . .
−
= +
mit
(
)
ε σ ν σ
z
el
z y
E
.
= ⋅ − ⋅
1
;
σ σ ρ
y y
f el
y
= +
.
;
σ σ ρ
z
z
f el
z
= +
.
und
(
)
ε ε ρ ν ρ
z
pl
z z y
E
. *
= − ⋅ − ⋅
1
.
Dabei ist ε
z
*
die Dehnungskomponente, die sich aus der modifizierten elastischen Ana-
lyse ergibt und somit auch die als modifizierte Belastung aufgebrachte Vordehnung ent-
hält. Die folgenden Diagramme zeigen die Annäherungen der Dehnungen der Zarka-
Methode über die Iterationen an die Dehnungen der exakten Berechnung. Dabei wurde
der Wert für die Primärspannung (Innendruck) auf 0,5 festgelegt. Variiert wurde über
H. Huhn / Diplomarbeit / „Anwendung einer vereinfachten FZT auf das Bree-Rohr“
90
den Parameter der Sekundärspannung (Temperaturgradient) und den Verfestigungs-
parameter.
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0
exakte Berechnung
0. Iteration Zarka
1. Iteration Zarka
2. Iteration Zarka
Abbildung 73: Dehnungsannäherungen der Zarka-Metode für den äußeren Rohrwandrand
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0
exakte Berechnung
0. Iteration Zarka
1. Iteration Zarka
2. Iteration Zarka
Abbildung 74: Dehnungsannäherungen der Zarka-Metode für den äußeren Rohrwandrand
ε
K
el pl
201
. .−
σ
σ
t
y1
E
E
t
y
1 0
1
0 1 0 5 0 3= = =, , , , ,
σ
σ
ν
ε
K
el pl
201
. .−
σ
σ
t
y1
E
E
t
y
1 0
1
0 05 0 5 0 3= = =, , , , ,
σ
σ
ν
H. Huhn / Diplomarbeit / „Anwendung einer vereinfachten FZT auf das Bree-Rohr“
91
In den Abbildungen 73-75 ist zu erkennen, dass es im Allgemeinen nicht klar ist, ob die
1. Iteration oder die 2. Iteration näher am exakten Ergebnis liegt. Da diese erzielten
Ergebnisse für nur einen Primärspannungswert gelten, sollen die weiteren Berech-
nungen einen tieferen Einblick in die Annäherungen der Iterationen in Abhängigkeit
beider Belastungsparameter geben. Dabei wurden sogenannte Höhendiagramme ver-
wendet (Abbildungen 76-81). Ein solch dargestelltes Höhendiagramm widerspiegelt in
den Achsen das Interaktionsdiagramm der Belastungen. Die Höhenlinien geben die Ab-
weichungen der behandelten Iteration von der exakten Berechnung in 5%-Schritten
wieder. Die Abweichungen können positiv oder negativ ausfallen. Zur Orientierung ist
die Null-Prozent-Linie dicker dargestellt. Die Primärspannung wurde in ¼ Schritten und
die Sekundärspannung in ½ Schritten variiert. Weiterhin wurden verschiedene Ver-
festigungsparameter eingesetzt (0.1, 0.05, 0.01). Es ist zu erkennen, dass mit kleiner
werdendem E
t
- Wert die Genauigkeit der Zarka-Methode sich verschlechtert. Weiterhin
sind bei der 1. Iteration bis zu -30% Abweichung möglich. Im Allgemeinen zeigt sich,
dass es keine positiven Abweichungen unterhalb des sekundären Belastungspara-
meterwertes 2,0 gibt.
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0
exakte Berechnung
0. Iteration Zarka
1. Iteration Zarka
2. Iteration Zarka
Abbildung 75: Dehnungsannäherungen der Zarka-Metode für den äußeren Rohrwandrand
ε
K
el pl
201
. .−
σ
σ
t
y1
E
E
t
y
1 0
1
0 01 0 5 0 3= = =, , , , ,
σ
σ
ν
H. Huhn / Diplomarbeit / „Anwendung einer vereinfachten FZT auf das Bree-Rohr“
92
Abbildung 76: Dehnungsabweichung Knoten 201 zur exakten Berechnung in Umfangsrichtung
-
+
σ
σσ
σ
σ
σσ
σ
t
y1
σ
σσ
σ
σ
σσ
σ
0
1y
1,0
0
2,0
3,0
4,0
5,0
7,0
6,0
8,0
9,0
1,0
E
E
Iteration
t1
0 1 0 3 1= =, , , , .
ν
0%-Linie
Maximum bei +3,51%
-5%-Linie
Minimum bei -6,41%
H. Huhn / Diplomarbeit / „Anwendung einer vereinfachten FZT auf das Bree-Rohr“
93
Abbildung 77: Dehnungsabweichung Knoten 201 zur exakten Berechnung in Umfangsrichtung
+
-
2,0
3,0
4,0
5,0
7,0
6,0
8,0
9,0
1,0
σ
σσ
σ
σ
σσ
σ
t
y1
σ
σσ
σ
σ
σσ
σ
0
1y
1,0
0
E
E
Iteration
t1
0 1 0 3 2= =, , , , .
ν
0%-Linie
0%-Linie
+5%-Linie
+5%-Linie
Maximum bei +7,98%
Minimum bei -2,39%
H. Huhn / Diplomarbeit / „Anwendung einer vereinfachten FZT auf das Bree-Rohr“
94
Abbildung 78: Dehnungsabweichung Knoten 201 zur exakten Berechnung in Umfangsrichtung
+
-
2,0
3,0
4,0
5,0
7,0
6,0
8,0
9,0
1,0
σ
σσ
σ
σ
σσ
σ
t
y1
σ
σσ
σ
σ
σσ
σ
0
1y
1,0
0
E
E
Iteration
t1
0 05 0 3 1= =, , , , .
ν
0%-Linie
-5%-Linie
-10%-Linie
Maximum bei +4,25%
Minimum bei -10,78%
H. Huhn / Diplomarbeit / „Anwendung einer vereinfachten FZT auf das Bree-Rohr“
95
Abbildung 79: Dehnungsabweichung Knoten 201 zur exakten Berechnung in Umfangsrichtung
+
-
2,0
3,0
4,0
5,0
7,0
6,0
8,0
9,0
1,0
σ
σσ
σ
σ
σσ
σ
t
y1
σ
σσ
σ
σ
σσ
σ
0
1y
1,0
0
E
E
Iteration
t1
0 05 0 3 2= =, , , , .
ν
0%-Linie
0%-Linie
+5%-Linie
+5%-Linie
-5%-Linie
Maximum bei +9,24%
Minimum bei -8,67%
H. Huhn / Diplomarbeit / „Anwendung einer vereinfachten FZT auf das Bree-Rohr“
96
Abbildung 80: Dehnungsabweichung Knoten 201 zur exakten Berechnung in Umfangsrichtung
+
-
2,0
3,0
4,0
5,0
7,0
6,0
8,0
9,0
1,0
σ
σσ
σ
σ
σσ
σ
t
y1
σ
σσ
σ
σ
σσ
σ
0
1y
1,0
0
E
E
Iteration
t1
0 01 0 3 1= =, , , , .
ν
0%-Linie
0%-Linie
+5%-Linie
+5%-Linie
-5%-Linie
-5%-Linie
-10%-Linie
-15%-Linie
-20%-Linie
-20%-Linie
Maximum bei +6,68%
Minimum bei -26,82%
H. Huhn / Diplomarbeit / „Anwendung einer vereinfachten FZT auf das Bree-Rohr“
97
Abbildung 81: Dehnungsabweichung Knoten 201 zur exakten Berechnung in Umfangsrichtung
+
-
2,0
3,0
4,0
5,0
7,0
6,0
8,0
9,0
1,0
σ
σσ
σ
σ
σσ
σ
t
y1
σ
σσ
σ
σ
σσ
σ
0
1y
1,0
0
E
E
Iteration
t1
0 01 0 3 2= =, , , , .
ν
0%-Linie
+5%-Linie
+10%-Linie
-5%-Linie
-5%-Linie
-10%-Linie
-10%-Linie
-15%-Linie
-20%-Linie
-20%-Linie
-25%-Linie
Maximum bei +12,72%
Minimum bei -25,35%
H. Huhn / Diplomarbeit / „Anwendung einer vereinfachten FZT auf das Bree-Rohr“
98
4.6.3. Dehnungsanalyse nach exakter Fließzonentheorie bei zyklischer Belastung
Der hier angesetzte Belastungsfall entspricht dem Fall A
b
, der aus den Analysen am
Zwei-Stab-System bekannt ist (siehe Abschnitt 3.9.1.1.). Es wirken ein konstanter
Innendruck (primär) und ein zyklischer Temperaturgradient (sekundär). Die Abbildung
82 zeigt nochmals das Belastungshistogramm des Präzedenzfalls.
Das Ziel dieser Untersuchung beschränkt sich auf das Erfassen des Dehnungsverhaltens
des Knotens 201 am äußeren Rand der Rohrwandung und der Erstellung des aus dem
Dehnungsverhalten ableitbaren Ratcheting-Interaktionsdiagramms. Bei Ansatz des bi-
linearen Werkstoffmodells kann das Auftreten von akkumulierten plastischen Deh-
nungen erwartet werden. Grundlage für die Programmierung dieser Analyse (siehe Ein-
gabeprotokoll im Anhang) geben die Erfahrungen aus den Analysen am Zwei-Stab-
System. Der Ansatz für die Berechnung der normierten elastisch-plastischen Ver-
gleichsdehnung im Auswertungsteil des Eingabeprotokolls wurde wie folgt gestaltet:
Abfragen folgender Werte im eingespielten Zustand am Zyklusende:
• Vergleichsspannung am Knoten 201 über das *GET-Kommando
0
1
4
1
2
3
4
1
1
1
4
1
1
2
1
3
4
2
2
1
4
2
1
2
2
3
4
3
n
n
1
4
n
1
2
n
3
4
n +
++
+ 1
0
1
4
1
2
3
4
1
1
1
4
1
1
2
1
3
4
2
2
1
4
2
1
2
2
3
4
3
n
n
1
4
n
1
2
n
3
4
n +
++
+ 1
σ
σσ
σ
konst. Primärspannung (inf. konst. Innendruck)
t
zykl. Sekundärspannung (inf. zykl. Temperaturgradient)
tt
σ
σσ
σ
σ
0
σ
t
Zeitsprung
n = Zyklenzahl
Ein Zyklus
Abbildung 82: Belastungshistogramm für Fall A am Bree-Rohr
H. Huhn / Diplomarbeit / „Anwendung einer vereinfachten FZT auf das Bree-Rohr“
99
• plastische Dehnungskomponenten (x, y, z, xy, yz, xz) am Knoten 201 über
*GET-Kommando
Berechnung der elastischen Vergleichsdehnung über die Vergleichsspannung:
ε
σ
V
el
V
E
.
= .
Berechnung der plastischen Vergleichsdehnung:
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε
V
pl
x
pl
y
pl
x
pl
z
pl
y
pl
z
pl
xy
pl
yz
pl
xz
pl. . . . . . . . . .
= ⋅ − + − + − + ⋅ + +
2
3
6
2
2
2 2 2
2
.
Berechnung der normierten el.-pl. Vergleichsdehnung am Knoten 201:
(
)
ε
ε
ε ε
ε
V K
el pl
y
V
el
V
pl
y
,
. .
. .
201
−
=
+
.
Die Berechnungen der Vergleichsdehnungen sind jedoch mit Fehlern behaftet. Fälsch-
licherweise wurden die Berechnungen auf ein einachsiges Spannungsproblem mit mo-
notoner Belastung orientiert. Die ermittelten Dehnungswerte sind somit unbrauchbar,
aber bezüglich der Ermittlung des Ratcheting-Interaktionsdiagrammes über die Deh-
nungsverläufe in Abhängigkeit der Belastungsparameter nützlich. Die Abbildung 83
zeigt die elastisch-plastischen Dehnungen im eingespielten Zustand und die Abbildung
84 die dafür benötigten Zyklen. Variiert wurde über die Belastungsparameter bei
festgesetzter Verfestigung. Die Abbildung 86 zeigt die Ergebnisse der Abbildung 83 in
zweidimensionaler Darstellung. Aus der Projektion der in Abbildung 83 abgegrenzten
Dehnungsverläufe auf die Grundfläche des Diagramms lässt sich das in Abbildung 85
dargestellte Ratcheting-Interaktionsdiagramm für die gewählten Werkstoffparameter
entwickeln.
Zur Auswertung der Ergebnisse ist zu sagen, dass sich wie erwartet finite
Ratchetingbereiche einstellen. Die Bereichsabsteckungen sind ähnlich gelagert wie die
entdeckten Bereiche von Bree bei der Untersuchung am Sonderfall des bilinearen
Werkstoffmodells mit E
t
=0. Bei der Projektion zur Ermittlung des Ratcheting-Interak-
tionsdiagrammes wurde festgestellt, dass bei hohen Primärspannungen vermutlich num-
merische Probleme einen Einfluss auf die Ergebnisgenauigkeit ausüben. Die Stellen der
Ergebnisungenauigkeiten sind in den Diagrammen gekennzeichnet.
H. Huhn / Diplomarbeit / „Anwendung einer vereinfachten FZT auf das Bree-Rohr“
100
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
11,0
12,0
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
Abbildung 83: el.-pl. Vergleichsdehnungen des Knoten 201
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
11,0
12,0
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Abbildung 84: benötigte Zyklen zum Erreichen der Vergleichsdehnungen der Abbildung 83
σ
σ
t
y1
σ
σ
t
y1
σ
σ
0
1y
σ
σ
0
1y
E
E
t1
0 1 0 3= =, , ,
ν
n
ε
ε
V K
el pl
y
,
. .
201
−
Ungenauigkeit
infolge
nummerischer
Probleme
E
E
t1
0 1 0 3= =, , ,
ν
H. Huhn / Diplomarbeit / „Anwendung einer vereinfachten FZT auf das Bree-Rohr“
101
3,0
2,0
1,0
1,0
0
0
σ
σσ
σ
σ
σσ
σ
0
1y
σ
σσ
σ
σ
σσ
σ
t
y1
f
E
E
t1
E
11,0
10,0
9,0
8,0
7,0
6,0
5,0
4,0
12,0
S
P
S
1
P
2
P
1
S
3
S
2
Abbildung 85: Ratcheting-Interaktiondiagramm für gewählte Werkstoffparameter am Bree-Rohr
für den Knoten 201
E
E
t1
0 1 0 3= =, , ,
ν
H. Huhn / Diplomarbeit / „Anwendung einer vereinfachten FZT auf das Bree-Rohr“
102
Eine andere Möglichkeit zur Berechnung der elastisch-plastischen Vergleichsdehnung
bestände darin, die für den elastischen und plastischen Zustand unterschiedlichen Quer-
dehnungszahlen nach der Formel von Hübel in Form einer effektiven Querdehnungszahl
auszudrücken [4]. Diese effektive Querdehnungszahl steht in Abhängigkeit des
Verhältnisses der elastischen Vergleichsdehnung zur elastisch-plastischen Vergleichs-
dehnung und kann wie folgt definiert werden:
ν ν
ε
ε ε
= − −
⋅
+
1
2
1
2
V
el
V
el
V
pl
.
. .
.
Die elastisch-plastische Vergleichsdehnung kann unter Berücksichtigung des Einflusses
der im Elastischen und Plastischen unterschiedlichen Querdehnungszahl und der elas-
tisch-plastischen Dehnungskomponenten für den zweiachsigen Spannungszustand wie
folgt erfasst werden [4]:
(
((
( )
))
) (
((
( )
))
) (
((
( )
))
) (
((
( )
))
)
ε
εε
ε
ν
νν
ν
ε
εε
ε ε
εε
ε ν
νν
ν ν
νν
ν ε
εε
ε ε
εε
ε ν
νν
ν ν
νν
ν
V
el pl
y
el pl
z
el pl
y
el pl
z
el pl. . . . . . . . .−
−−
− −
−−
− −
−−
− −
−−
− −
−−
−
=
==
=
−
−−
−
⋅
⋅⋅
⋅ +
++
+
⋅
⋅⋅
⋅ −
−−
− +
++
+ −
−−
− ⋅
⋅⋅
⋅ ⋅
⋅⋅
⋅ −
−−
− ⋅
⋅⋅
⋅ +
++
+
1
1
1 1 4
2
2 2
2 2
.
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0
Abbildung 86: Dehnungsverläufe über die Sekundärspannung unterschiedl. Primärspannungen
σ σ
0 1
0 1
y
= ,
σ σ
0 1
0 2
y
= ,
σ σ
0 1
0 3
y
= ,
σ σ
0 1
0 4
y
= ,
σ σ
0 1
0 5
y
= ,
σ σ
0 1
0 6
y
= ,
σ σ
0 1
0 7
y
= ,
σ σ
0 1
0 8
y
= ,
σ σ
0 1
1 0
y
= ,
σ σ
0 1
0 0
y
= ,
ε
ε
V K
el pl
y
,
. .
201
−
σ σ
0 1
0 9
y
= ,
σ
σ
t
y1
unzuverlässiger Kurvenverlauf
infolge nummerischer Probleme
E
E
t1
0 1 0 3= =, , ,
ν
H. Huhn / Diplomarbeit / Zusammenfassung und Ausblick
103
5. Zusammenfassung und Ausblick
Die gewonnenen Ergebnisse aus den in Abschnitt 3 untersuchten Lastfällen und Werk-
stoffgesetzen am Zwei-Stab-System geben einen kleinen Einblick in die komplexe Welt
der Nichtlinearitäten. Selbst für das so einfach strukturierte ideale Modell des Zwei-
Stab-Systems zeigt sich für die unterschiedlichen Lastfälle ein kompliziertes unerwar-
tetes Bild bezüglich des Strukturverhaltens. Besonders deutlich ist dies zu erkennen im
Lastfall C
2
, in dem ein fast unmerklicher Bereich des Strukturverhaltens eines „rückläu-
figen Ratcheting“ entdeckt wurde. Hierbei wird ein Teil der Struktur einmalig in Wir-
kungsrichtung der Primärspannung plastisch gedehnt. Die darauf folgenden akkumulier-
ten plastischen Dehnungen treten für die Gesamtstruktur nur noch im Druckbereich des
Materialgesetzes auf. Das heißt die Struktur spielt sich entgegen der Wirkungsrichtung
der Primärspannung ein. Des weiteren kann als ein wesentliches Ergebnis aus den Last-
fallstudien am Zwei-Stab-System festgehalten werden, dass die erreichten elastisch-
plastischen Dehnungen im eingespielten Zustand bei beliebiger Belastungskombination
des Lastfalls A
b
, von keinem der anderen untersuchten Lastfälle bei gleicher Belas-
tungskombination überschritten werden. Da das Bree-Rohr bei einem über die Rohr-
wandung zyklischen Temperaturgradienten und wirkender Primärspannung dem Rat-
cheting-Typ A entspricht und die Mechanik des Systems dem Zwei-Stab-System ähnelt,
wäre es ausblickend interessant, in wie weit die Ergebnisse aus den Untersuchungen des
Zwei-Stab-Systems mit Ergebnissen zu Lastfallstudien am Bree-Rohr Gemeinsamkeiten
bilden. Ein erster Schritt dazu ist in Abschnitt 4.6.3. durch die Untersuchung des Last-
falles A
b
am Bree-Rohr eingeleitet worden. Der Vergleich der gewonnenen Interak-
tionsdiagramme zeigt deutlich, dass wesentliche Zusammenhänge und Gemeinsam-
keiten bestehen müssen.
Bezüglich der Anwendung der Zarka-Methode auf eine dikretisierte Struktur ist festzu-
stellen, dass die Implementierung der Methode in ein FE-Programm für den zweiachsi-
gen Spannungszustand programmiertechnisch wenig Probleme bereitet. Die Abwei-
chungen der Ergebnisse der Zarka-Methode zu den Ergebnissen nach dem exakten Be-
rechnungsverfahren am Bree-Rohr sind teilweise sicherlich Ausdruck der Diskreti-
sierung der Struktur. Darüber hinaus sollte jedoch auch noch untersucht werden, ob im
Falle direktionaler Spannungsumlagerungen nicht noch die Theorie der Methode ver-
bessert werden kann.
H. Huhn / Diplomarbeit / Literatur
104
6. Schrifttum
[1] Glede, M.: FE-Analysen nach exakter und vereinfachter Fließzonentheorie mit
ANSYS, Diplomarbeit, FH Lausitz, Fachbereich Bauingenieurwesen, 1997
[2] Wesche, K.: Baustoffe für tragende Bauteile, Wiesbaden, Berlin: Bauverlag. B. 1
Baustoffkenngrößen, Meßtechnik, Statistik. 2., neubearb. u. erw. Aufl. 1977
[3] Duden, Fremdwörterbuch, Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus AG,
6., überarbeitete und erweiterte Auflage 1997
[4] Hübel, H.: Ermittlung realistischer K
e
-Faktoren (Plastizierungsfaktoren) als
Grundlage für die Präzisierung des kerntechnischen Regelwerkes hinsichtlich
der Ermüdungsanalyse, Bericht für das Bundesministerium für Umwelt, Natur-
schutz und Reaktorsicherheit, Vorhaben SR 2221, 1996
[5] Prof. Dr.-Ing. H. Hübel: Vorlesung - Grundlagen der Plastizitätstheorie,
FH Lausitz, Fachbereich Bauingenieurwesen, 1997
[6] Hübel, H.: Analyse der vereinfachten elastisch-plastischen Berechnungsmethode
zur Strukturanalyse nach Zarka als Grundlage für die Präzisierung des kern-
technischen Regelwerkes hinsichtlich des Ratcheting-Nachweises, Teil I,
Bericht für das Bundesministerium für Umwelt, Naturschutz und Reaktorsicher-
heit, Vorhaben SR 2226, Dezember 1997
[7] Bochmann, F.:Statik im Bauwesen, Band II - Festigkeitslehre, Berlin: VEB
Verlag für Bauwesen, 15., bearbeitete Auflage 1990
[8] Capra, F.: Lebensnetz, Ein neues Verständnis unserer Welt, Bern: Scherz Verlag,
1996
H. Huhn / Diplomarbeit / Literatur
105
[9] Müller, G. und Groht, C.: FEM für Praktiker, Die Methode der Finiten Elemente
mit dem FE-Programm ANSYS, expert verlag, 3.,völlig neubearb. Auflage, 1997
[10] CADFEM: Infoplaner, FEM: Software • Schulung • Entwicklung • Berechnung
im Auftrag, September 96 - Juli 97
[11] ANSYS/ED
Help System, Release 5.3
• Analysis Guides • Elements Manual • Other Manuals
• Commands Manual • Theory Manual
[12] Turing, A.: 0n computable Numbers, with an Application to the Entscheidungs-
problem, In: DAVIES, M. (Hg.): The Undecidable, New York, Hewlett, 1965
[13] Bree, J.: Elastic-Plastic Behaviour of thin Tubes subjected to internal Pressure
and intermittent High-Heat Fluxes with Application to Fast-Nuclear-Reaktor
Fuel Elements, Journal of Strain Analysis, Vol 2 No 3, 1967
[14] Jiang, W.: The Elastic-Plastic Analysis of Tubes-I: General Theory, Journal of
Pressure Vessel Technology, Vol. 114, Mai 1992
[15] Hübel, H.: Vereinfachte Fließzonentheorie, Erläuterung der Zarka-Methode und
Beispiele, 1997
[16] Prof. Dr.-Ing. H. Hübel: Vorlesung - Einführung in die Finite-Element-Methode,
FH Lausitz, Fachbereich Bauingenieurwesen, 1996
[17] Hübel, H.: Verwendung der Zarka-Methode mit einem FE-Programm, 1997
[18] Hübel, H.: Basic conditions for material an structural ratcheting, Nuclear
Engineering and Design 162, Elsevier Science S.A., 1996
H. Huhn / Diplomarbeit / Anhang
106
7. Anhang
7.1. ANSYS-Eingabeprotokoll zu Abschnitt 3.7.2.
Dehnungsberechnung nach exakter Fließzonentheorie
für den Präzedenzfall am Zwei-Stab-System 107
7.2. ANSYS-Eingabeprotokolle zu Abschnitt 4.6.1.
• Fließzonenberechnung nach exakter Fließzonentheorie
hinsichtlich monotoner Belastung am Bree-Rohr 110
• Fließzonenberechnung nach vereinfachter Fließzonentheorie
hinsichtlich monotoner Belastung am Bree-Rohr 111
7.3. ANSYS-Eingabeprotokolle zu Abschnitt 4.6.2.
• Dehnungsberechnung in Umfangsrichtung am Knoten 201
nach exakter Fließzonentheorie hinsichtlich monotoner
Belastung am Bree-Rohr 115
• Dehnungsberechnung in Umfangsrichtung am Knoten 201
nach vereinfachter Fließzonentheorie hinsichtlich monotoner
Belastung am Bree-Rohr 117
7.4. ANSYS-Eingabeprotokoll zu Abschnitt 4.6.3.
Vergleichsdehnungsberechnung am Knoten 201 nach exakter
Fließzonentheorie hinsichtlich zyklischer Belastung am Bree-Rohr 121
H. Huhn / Diplomarbeit / Anhang
107
7.1. ANSYS-Eingabeprotokoll zu Abschnitt 3.7.2.
Dehnungsberechnung nach exakter Fließzonentheorie für den Präzedenzfall am
Zwei-Stab-System
DATEI='Fall_Ab' !Text fuer die Variable Datei
/OUTPUT,DATEI,OUT !Schreibt alle Vorgaenge auf
!"DATEI".OUT
/BATCH
/TITLE,Zwei-Stab-Modell
/HEADER,OFF,OFF,ON,OFF,OFF,OFF !laedt die Schrittinformation laut
!Voreinstellungen
/CONFIG,NRES,1e5 !in ED-Version nicht moeglich
!(setzt Rechnungsschritte)
C*** Eingabe der Parameter *******************************************
SYzuE=0.001 !elastische Dehngrenze
EtzuE=0.1 !Verhaeltnis Tangenten- zu
!Elastizitaetsmodul
C*** Initialisierung der Berechnungsschleifen veraend. Parameter *****
STzuSY=0.0 !normierte Sekundearspannung
SPzuSY=0.0 !normierte Primaerspannung
C*** Konstante Werte *************************************************
H=1e4 !Systemhoehe (mm)
B=1e3 !Systembreite (mm)
A=1e3 !Querschnittsflaeche (qmm)
alphaT=1.2e-5 !Waermedehnzahl (1/K)
SY=2e2 !Streckgrenze (N/qmm)
T0=0 !fuer Ruecksetzen der Temperatur(K)
Kraft0=0 !fuer Ruecksetzen der Kraft (N)
ABRKRIT=9e-8 !Abruchkriterium fuer Schleife bei
!Genauigk. Epsilon=deltaL/L=ABRKRIT
C*** Durch Parameter beeinflusste Werte *****************************
E=SY/SYzuE !Elastizitaetsmodul (N/qmm)
Et=EtzuE*E !Verfestigungsmodul (N/qmm)
C*** Preprozessor ****************************************************
/PREP7
ET,1,LINK1 !Elementtyp LINK1
R,1,A !Setzen der Querschnittsflaeche
UIMP,1,EX, , ,E !Lineares Materialverhalten
!(Elastizitaetsmodul)
UIMP,1,ALPX, , ,alphaT !Lineares Materialverhalten
!(Waermedehnzahl)
TB,BKIN,1 !Bilinerar kinematisches Verhalten
TBMODIF,2,1,SY !Setzen der Streckgrenze
TBMODIF,3,1,Et !Setzen Verfestigungs-
!anstieg's(Verfestigungsmodul)
N,1 !Definieren des Knoten 1
N,2,,H ! "-" "-" "-" 2
N,3,B ! "-" "-" "-" 3
N,4,B,H ! "-" "-" "-" 4
H. Huhn / Diplomarbeit / Anhang
108
NUMSTR,ELEM,1 !Einrichten der Startnummer fuer
!Elementzaehlung
E,1,2 !Definieren des Elements 1
E,3,4 !Definieren des Elements 2
CP,1,UY,1,3 !Kopplung der FG von Kn. 1 und 3 in
!Y-Richtung
CP,2,UX,1,3 !Kopplung der FG von Kn. 1 und 3 in
!X-Richtung
FINISH !Beendet den Preprozessor
C*** Erstellung der Ergebnisdatei ************************************
*CFOPEN,DATEI,ERG !Oeffnet Ergebnisdatei mit Namen
!"DATEI".ERG
C*** Schleife ueber Primaerspannung **********************************
*DO,SPzuSY,0,1,0.05
Kraft1=-SPzuSY*SY*2*A !Berechnung der Einzellast (N)
*VWRITE,SPzuSY !schreibt Wert der Primärspannung
(F4.2) !in Ergebnisdatei
C*** Schleife ueber Sekundaerspannung ********************************
*DO,STzuSY,0,12,0.1
T1=2*STzuSY*SY/E/alphaT !Berechnung der Temperatur (K)
C*** Solution Prozessor **********************************************
/SOLU !wechselt in Solution Prozessor
ANTYPE,0,NEW !Charakterisiert den Analysetyp
D,1,UX !Fesseln der Freiheitsgrade
D,2,ALL
D,4,ALL
OUTRES,ALL,ALL !Steuert, was und wie auf Daten-
!basis und Ergebnisdatei
!geschrieben wird
PRED,ON,,OFF !Nummerische Hilfen
CNVTOL,F,,0.00001,,1 !Annaehrungstoleranz der Kraft
F,1,FY,Kraft1 !Ansetzen der Primaerspannung
SOLVE !Kommando zum Loesen
LOADSTEP=1 !Variable zum Zaehlen der SOLVE
*GET,UY1,NODE,1,U,Y !setzt Y-Verschiebung von Kn.1 auf
!Parameter UY1
UY1ALT=UY1 !initialisiert Parameter UY1ALT
!fuer Berechnung Dehnungszuwachs
C*** Schleife fuer zyklische Belastung *******************************
*DO,ZYKLEN,1,100000 !Schleife max 100000 Durchgaenge
BFE,1,TEMP,1,T1,T1 !Ansetzen der Sekundaerspannung
SOLVE
LOADSTEP=LOADSTEP+1
BFE,1,TEMP,1,T0,T0 !Ruecksetzen der Sekundaerspannung
SOLVE
LOADSTEP=LOADSTEP+1
*GET,UY1,NODE,1,U,Y !setzt Y-Verschiebung von Kn.1
!erneut auf Parameter. UY1
H. Huhn / Diplomarbeit / Anhang
109
C*** Schleifenabbruch bei Abbruchkriterium oder Et/E=0 **************
*IF,ABS(UY1-UY1ALT)/H,LT,ABRKRIT,EXIT
!verlaesst Schleife, da eingespielt
UY1ALT=UY1
!setzt UY1ALT auf aktuellen UY1
*IF,EtzuE,EQ,0,THEN !pruefen ob Et/E=0
*IF,LOADSTEP,GE,7,EXIT !verlaesst Schleife, da infinites
!Ratcheting
*ENDIF !Ende des IF-THEN-ELSE-Konstrukts
*ENDDO
C*** Ende der Berechnungsschleife ************************************
FINISH !Beendet den Solution Prozessor
C*** Post Prozessor **************************************************
/POST26 !Auswertungsprozessor f. zeitliche
!Ergebnisabfragen
NUMVAR,20 !Anzahl moeglicher Ausgabevariablen
C*** Definieren der Ausgabevariablen *********************************
NSOL,2,1,U,Y,UY_Kn.1 !Y-Verschiebung Knoten 1
ESOL,3,1,1,LS,1,Spn.St.1 !Hauptspannung am El.1 Knt.1
ESOL,4,2,3,LS,1,Spn.St.2 !Hauptspannung am El.2 Knt.3
ESOL,5,1,1,LEPEL,1,Eps.e.1 !el. Dehnung El.1 Knt.1
ESOL,6,1,1,LEPPL,1,Eps.p.1 !pl. Dehnung El.1 Knt.1
ESOL,7,2,3,LEPEL,1,Eps.e.3 !el. Dehnung El.2 Knt.3
ESOL,8,2,3,LEPPL,1,Eps.p.3 !pl. Dehnung El.2 Knt.3
ADD,9,5,6,,Eps.ep.1 !Add. Var. 5 und 6 (el-pl Dehn.)
ADD,10,7,8,,Eps.ep.3 !Add. Var. 8 und 9 (el-pl Dehn.)
!PRVAR,2,3,4,9,10 !Ausgeben der def. Variablen in
!"DATEI".out
*GET,EPS_ST2,VARI,10,RTIME,LOADSTEP !initialisiert Parameter EPS_ST2
!und setzt el-pl Dehn. D. Stabes 2
!der letzten Berechnung
EPS2zuEY=EPS_ST2/SYzuE !normiert EPS-ST2 z. el. Dehngrenze
ZYKLEN=ZYKLEN-1 !Zyklenzahl ausschl. letzter Hysth.
*VWRITE,STzuSY,EPS2zuEY,ZYKLEN !schreibt Sekundaerspannung und zu-
(F5.2,2X,F13.10,2X,F6.0) !gehoerige Dehnung sowie Zyklenzahl
!in Ergebnisdatei
FINISH !Beendet Prozessor POST26
C*** Ende der Schleife ueber Sekundaerspannung ***********************
*ENDDO
C*** Ende der Schleife ueber Primaerspannung *************************
*ENDDO
*CFCLOS !Schliesst Ergebnisdat. „DATEI".ERG
/EXIT,ALL !speich. PREP- SOLU- u. POST-Daten
H. Huhn / Diplomarbeit / Anhang
110
7.2. ANSYS-Eingabeprotokolle zu Abschnitt 4.6.1.
Fließzonenberechnung nach exakter Fließzonentheorie hinsichtlich monotoner Be-
lastung am Bree-Rohr
/BATCH
/OUTPUT,,OUT !schreibt alles auf Datei file.out
/TITLE,BREE-Rohr nach exakter FZT im 2-achsigen Spannungszustand
/STITLE,,BREE-Rohr-Simulation mit PLANE42 (axialsymmetrisch)
/CONFIG,NRES,1e5 !setzt Rechnungschritte
C*** variable Parameter **********************************************
DATEI='FZONE_B3' !Text fuer Variable „Datei“
S0zuSY_A=0.9 !normierte Primaerspannung
StzuSY_A=1.6 !normierte Sekundaerspannung
SYzuE=1e-3 !elastische Dehngrenze(einheitslos)
EtzuE=0.1 !Verhaeltnis Tangenten- zu E-Modul
tRzuDm=0.0001 !Duennwandigkeit (<1)
C*** konstante Parameter *********************************************
SY=2e2 !Streckgrenze (N/qmm)
alphaT=1.2e-5 !Waermedehnzahl (1/K)
QDZahl=0.3 !Querdehnzahl 0,30 fuer Stahl
tR=2000 !Wanddicke Rohr (mm)
PI=ACOS(-1) !Umfang im Einheitskreis
C*** beeinflusste Parameter ******************************************
E=SY/SYzuE !Elastizitaetsmodul (N/qmm)
Et=EtzuE*E !Verfestigungsmodul (N/qmm)
Dm=tR/tRzuDm !mittlerer Rohrdurchmesser
Ri=(Dm-tR)/2 !innerer Rohrradius
pinnen=4*tR*S0zuSY*SY/Dm/SQRT(3) !Berechnung des Innendrucks
Nax=PI*Dm*tR*S0zuSY*SY/SQRT(3) !Ber. d. Axialkraft inf. I. -druck
deltaT=2*StzuSY*SY*(1-QDZahl)/E/alphaT !Ber. des Temperaturabfalles
C*** Preprozessor ****************************************************
/PREP7 !Aufruf des Preprozessors
ET,1,PLANE42,,,1 !Keyopt. 3 auf 1 f. Rot. -symmetrie
UIMP,1,EX,,,E !lineares Materialverhalten
UIMP,1,ALPX,,,alphaT !E-Modul,Waermedehnzahl und Quer-
UIMP,1,NUXY,,,QDZahl !dehnzahl in alle Richtungen
TB,BKIN,1 !bilinear kinemat. Mat.- verhalten
TBMODIF,2,1,SY !Setzen der Streckgrenze
TBMODIF,3,1,Et !Setzen des Verfestigungsmodul
N,1,Ri !Definieren des Knoten 1
N,201,Ri+tR !Definieren des Knoten 201
FILL,1,201,199 !aequidistante Knotenauffuellung
NGEN,2,201,1,201,1,,10 !Generieren der 2. Knotenreihe
E,1,2,203,202 !Definieren des Elements 1
EGEN,200,1,-1 !Generiert 200 Elemente einschl. E1
CPNGEN,1,UY,202,402,1 !Knotenkopplung in Y-Richtung
FINISH !Beenden des Preprozessors
C*** Solution Prozessor **********************************************
/SOLU !Aufruf des Solution Prozessors
D,1,UY,,,201,1 !Lager K 1-201 (Axialrichtung)
H. Huhn / Diplomarbeit / Anhang
111
SFE,1,4,PRES,,pinnen !Oberflaechenlast Seite 4 am E1
F,202,FY,Nax !diskrete Punktlast
C*** Verteilerschleife fuer Simulation des Temperaturgradienten ******
fallendT=deltaT/200 !abfallende Temp. ueber Element
T1=deltaT/2 !Starttemperatur Rohrwand innen
T2=T1-fallendT !Temperatur am Elementende
*DO,allocate,1,200,1 !Schleife ueber 200 Elemente fuer
!Simulation des Temp.gradienten
BFE,allocate,TEMP,1,T1,T2,T2,T1 !Ansetzen Volumenlast in den Knoten
T1=T2 !Berechnung der Temperaturen fuer
T2=T2-fallendT !naechstes Element
*ENDDO !Ende der Temp. -Verteilerschleife
SOLVE !Kommando zum Loesen
FINISH !Beendet Solution Prozessor
C*** Postprozessor ***************************************************
/POST1 !Aufruf des Postprozessors
*CFOPEN,DATEI,ERG !Oeffnet Datei mit oben def. Namen
*DO,KnoNR,1,201,1 !Schleife ueber untere Knotenreihe
*GET,VSpann,NODE,KnoNr,S,EQV !Holt Vergl. -sp. f. Var. Vspann
F_ZONE=0 !setzt Zeiger F_ZONE auf Null
*IF,VSpann,GT,SY,THEN !Voluminapruefung nach Zarka
F_ZONE=10 !Wenn ja, d. Zeiger a. belieb. Wert
*ENDIF !Wenn nein, hier weiter
FZ_KnoNr=1-(201-KnoNr)/200 !Einord. d. K. zw. 0 und 1
*VWRITE,FZ_KnoNr,F_ZONE !schreibt Ergebnisse auf Datei
(F5.3,2X,F4.0) !Formate
*ENDDO !Ende d. Schleife ueber Knotenreihe
*CFCLOS !Schliesst Ergebnisdatei
FINISH !Beendet Postprozessor
/EXIT,ALL !speich. PREP- SOLU- u. POST-Daten
Fließzonenberechnung nach vereinfachter Fließzonentheorie hinsichtlich mono-
toner Belastung am Bree-Rohr
/BATCH
/OUTPUT,,OUT !schreibt alles auf Datei file.out
/TITLE,BREE-Rohr nach vereinfachter FZT im 2-achsigen Spannungszustand
/STITLE,,BREE-Rohr-Simulation mit PLANE42 (axialsymmetrisch)
/CONFIG,NRES,1e5 !setzt Rechnungschritte
C*** variable Parameter **********************************************
S0zuSY=0.9 !norm. Primaersp. (bei 0: 1e-30)
StzuSY=1.6 !normierte Sekundaerspannung
SYzuE=1e-3 !elastische Dehngrenze(einheitslos)
EtzuE=0.1 !Verhaeltnis Tangenten- zu E-Modul
tRzuDm=0.0001 !Duennwandigkeit (<1)
Itr_step=7 !Anzahl der Iterationen
C*** konstante Parameter *********************************************
SY=2e2 !Streckgrenze (N/qmm)
alphaT=1.2e-5 !Waermedehnzahl (1/K)
QDZahl=0.3 !Querdehnzahl 0,30 fuer Stahl
tR=2000 !Wanddicke Rohr (mm)
PI=ACOS(-1) !Umfang im Einheitskreis
H. Huhn / Diplomarbeit / Anhang
112
Elemente=200 !Anzahl der Elemente
C*** beeinflusste Parameter ******************************************
E=SY/SYzuE !Elastizitaetsmodul (N/qmm)
Et=EtzuE*E !Verfestigungsmodul (N/qmm)
Dm=tR/tRzuDm !mittlerer Rohrdurchmesser
Ri=(Dm-tR)/2 !innerer Rohrradius
pinnen=4*tR*S0zuSY*SY/Dm/SQRT(3) !Berechnung des Innendrucks
Nax=PI*Dm*tR*S0zuSY*SY/SQRT(3) !Ber. der Axialkraft inf. I. -druck
deltaT=2*StzuSY*SY*(1-QDZahl)/E/alphaT !Ber. des Temperaturabfalles
C*** Preprozessor ****************************************************
/PREP7 !Aufruf des Preprozessors
ET,1,PLANE42,,,1 !Keyopt. 3 auf 1 f. Rot. -symmetrie
UIMP,1,EX,,,E !lineares Materialverhalten
UIMP,1,ALPX,,,alphaT !E-Modul,Waermedehnzahl und Quer-
UIMP,1,NUXY,,,QDZahl !dehnzahl in alle Richtungen
N,1,Ri !Definieren des Knoten 1
N,201,Ri+tR !Definieren des Knoten 201
FILL,1,201,199 !aequidistante Knotenauffuellung
NGEN,2,201,1,201,1,,10 !Generieren der 2. Knotenreihe
E,1,2,203,202 !Definieren des Elements 1
EGEN,Elemente,1,-1 !Generiert 200 Elemente einschl. E1
CPNGEN,1,UY,202,402,1 !Knotenkopplung in Y-Richtung
FINISH !Beenden des Preprozessors
*DIM,M_El_Kno,ARRAY,Elemente,4,1 !Matrix fuer Elem. -Kn. -Zuordnung
*DIM,M_S_f_el,ARRAY,Elemente,4,3 !Mat. f. fikt. el. Sp. mit 3 Ebenen
*DIM,M_Sigma,ARRAY,Elemente,4,3 !Mat. f. Gesamtspannungen mit 3 Eb.
*DIM,M_RHO,ARRAY,Elemente,4,3 !Mat. f. Restspannungen mit 3 Eb.
C*** fiktiv elastische Analyse ***************************************
/SOLU !Aufruf des Solution Prozessors
ANTYPE,0,NEW !charakterisiert den Analysetyp
D,1,UY,,,201,1 !Lager von K 1-201 (Axialrichtung)
SFE,1,4,PRES,,pinnen !Oberflaechenlast Seite 4 am E1
F,202,FY,Nax !diskrete Punktlast
C*** Verteilerschleife für Simulation des Temperaturgradienten *******
fallendT=deltaT/Elemente !abfallende Temp. ueber Element
T1=deltaT/2 !Starttemperatur (Rohrwand innen)
T2=T1-fallendT !Temperatur am Elementende
*DO,allocate,1,Elemente,1 !Schleife ueber 200 Elemente fuer
!Simulation des Temp. -gradienten
BFE,allocate,TEMP,1,T1,T2,T2,T1 !Ansetzen Volumenlast in den Knoten
T1=T2 !Berechnung der Temperaturen fuer
T2=T2-fallendT !naechstes Element
*ENDDO !Ende der Schleife
SOLVE !Kommando zum Loesen
FDELE,ALL,ALL !Pkt- u. OF-last w. einm. geloescht
SFEDELE,ALL,ALL,ALL !da spaeter nur noch Volumenlast
FINISH !Beendet Solution Prozessor
C*** Auswertung der fiktiv elastischen Analyse ***********************
/POST1 !Aufruf des Postprozessors
NITER=0 !zaehlt die Iterationen
*VGET,M_El_Kno(1,1),ELEM,1,NODE,1 !setzt in angegebener Spalte die
*VGET,M_El_Kno(1,2),ELEM,1,NODE,2 !Knotennummern in den vorhandenen
*VGET,M_El_Kno(1,3),ELEM,1,NODE,3 !Reihen der Matrix M_El_Kno
H. Huhn / Diplomarbeit / Anhang
113
*VGET,M_El_Kno(1,4),ELEM,1,NODE,4
*STATUS,M_El_Kno(1,1) !Schr. Mat. M_El_Kno in Datei *.out
*DO,EL,1,Elemente,1 !Schleife ueber Elem. U. Kn. F. die
*DO,K,1,4,1 !Besetzung von M_S_f_el u. M_Sigma
*GET,S_fel__Y,NODE,M_El_Kno(EL,K),S,Y
*GET,S_fel__Z,NODE,M_El_Kno(EL,K),S,Z
*GET,S_fel_YZ,NODE,M_El_Kno(EL,K),S,YZ
M_S_f_el(EL,K,1)=S_fel__Y
M_S_f_el(EL,K,2)=S_fel__Z
M_S_f_el(EL,K,3)=S_fel_YZ
M_Sigma(EL,K,1)=M_S_f_el(EL,K,1)
M_Sigma(EL,K,2)=M_S_f_el(EL,K,2)
M_Sigma(EL,K,3)=M_S_f_el(EL,K,3)
*ENDDO
*ENDDO
*STATUS,M_S_f_el(1,1,1) !Schr. Mat. M_El_Kno in Datei *.out
*STATUS,M_Sigma(1,1,1) !Schr. Mat. M_Sigma in Datei *.out
EPSStern=0 !0 gesetzt, da in Ausw. gefordert
*GO,:AUSGABE !Sprung zum Ausgabeteil
:WEITER !und wieder zurück und weiter
*ENDIF !Beendet IF bei Sprung zu :WEITER
FINISH !Beenden des Postprozessors
C*** Beginn der Iterationsschleife (modifizierte el. Analyse) ********
:Iterativ !Sprungadresse f. weit. Iteration
*ENDIF !Beendet IF bei Sprung zu :WEITER
/PREP7 !Aufruf des Preprozessors
BFEDELE,ALL,ALL !Loeschen vorheriger Volumenlasten
*DO,EL,1,Elemente,1 !Hauptschleife (ueber Elemente)
MPCHG,1,EL !alle Elemente Materialnr. 1
EMODIF,EL,ESYS,0 !alle Koord. -syst. in Ausg. -pos.
ts1=0 !Setzen der Temperaturen fuer die
ts2=0 !Anfangsdehnungen des elastischen
ts3=0 !Volumina
ts4=0
I=0 !Startwert für Einsch. pl. Volumina
*DO,K,1,4,1 !Unterschleife (ueber Knoten)
sfel%K%y=M_S_f_el(EL,K,1) !fiktiv elastische Spannungs-
sfel%K%z=M_S_f_el(EL,K,2) !komponenten und Vergleichspannung
sfel%K%yz=M_S_f_el(EL,K,3) !im Knoten K (Schleife K=1-4)
sfel%K%v=SQRT(sfel%K%y**2+sfel%K%z**2-sfel%K%y*sfel%K%z+3*sfel%K%yz**2)
S%K%y=M_Sigma(EL,K,1) !Spannungskomponenten und Vergl.-
S%K%z=M_Sigma(EL,K,2) !spannung aus vorhergehender
S%K%yz=M_Sigma(EL,K,3)! !Iteration
S%K%v=SQRT(S%K%y**2+S%K%z**2-S%K%y*S%K%z+3*S%K%yz**2)
*ENDDO !Ende der Unterschleife (Knoten)
sfelmy=(sfel1y+sfel2y+sfel3y+sfel4y)/4 !elementgemittelte el. Haupt-
sfelmz=(sfel1z+sfel2z+sfel3z+sfel4z)/4 !spannungskomponenten und el.
sfelmyz=(sfel1yz+sfel2yz+sfel3yz+sfel4yz)/4 !Hauptsp. (u. gedreht)
PHIm=0.5*ATAN(2*sfelmyz/(sfelmy-sfelmz)) !Koord. -drehwinkel
sfelmH1=sfelmy*(cos(PHIm))**2+sfelmz*(sin(PHIm))**2+2*sfelmyz*sin(PHIm)*cos(PHIm)
sfelmH2=sfelmy*(sin(PHIm))**2+sfelmz*(cos(PHIm))**2-2*sfelmyz*sin(PHIm)*cos(PHIm)
*DO,K,1,4,1 !Unterschleife (ueber Knoten)
*IF,S%K%v,GT,SY,THEN !Voluminapruefung nach Zarka
I=I+1 !Wenn ja, dann Tendez zu pl. Vol.
ts%K%=(1/C)*(sfelmH1-0.5*sfelmH2)*(1-SY/sfel%K%v) !Anfangsdehnung
*ENDIF !W. nein, dann kein I u. Anf.-dehn.
*ENDDO !Ende der Unterschleife (Knoten)
alpha1=1 !Ber. der Ausdehn.-k. für Steuerung
alpha2=(sfelmH2-0.5*sfelmH1)/(sfelmH1-0.5*sfelmH2) !der Anf. -dehn.
alpha3=-alpha1-alpha2
*IF,I,GE,3,THEN !Prüfung ob Element zu plastischen
UIMP,EL+1,EX,,,Et !Volumen tendiert
H. Huhn / Diplomarbeit / Anhang
114
UIMP,EL+1,ALPX,,,alpha3 !Wenn ja, dann modifizierte
UIMP,EL+1,ALPY,,,alpha1 !Materialparameter definieren
UIMP,EL+1,ALPZ,,,alpha2
UIMP,EL+1,NUXY,,,0.5-(0.5-QDZahl)*Et/E
UIMP,EL+1,NUXZ,,,0.5-(0.5-QDZahl)*Et/E
UIMP,EL+1,NUYZ,,,0.5-(0.5-QDZahl)*Et/E
MPCHG,EL+1,EL !neue Materialparameter zuweisen
LOCAL,EL+10,,,,,,PHIm,, !def. neues lok. kart. Koord.-syst.
ESYS,EL+10
EMODIF,EL,ESYS,EL+10
BFE,EL,TEMP,1,ts1,ts2,ts3,ts4 !Zuweisen des Koord. -syst.
*ENDIF !Wenn el. Vol., dann norm. Material
*ENDDO !Ende der Hauptschleife (Elemente)
FINISH !Beendet Preprozessor
/SOLU !Aufruf des Solution Prozessors
SOLVE !Kommando zum Loesen
FINISH !Beendet Solution Prozessor
/POST1 !Aufruf des Postprozessors
*DO,EL,1,Elemente,1 !Hauptschleife (ueber Elemente)
*DO,K,1,4,1 !Unterschleife (ueber Knoten)
*GET,rhoy,NODE,M_El_Kno(EL,K),S,y !Holt Restspannungskomp. des
*GET,rhoz,NODE,M_El_Kno(EL,K),S,z !Knoten K im Element
*GET,rhoyz,NODE,M_El_Kno(EL,K),S,yz
M_RHO(EL,K,1)=rhoy !schreibt Restspannungskomp.
M_RHO(EL,K,2)=rhoz !des Knoten K in Mat. M_RHO
M_RHO(EL,K,3)=rhoyz
M_Sigma(EL,K,1)=M_S_f_el(EL,K,1)+M_RHO(EL,K,1) !Add. fikt. el. Sp.
M_Sigma(EL,K,2)=M_S_f_el(EL,K,2)+M_RHO(EL,K,2) !und Restspannung u.
M_Sigma(EL,K,3)=M_S_f_el(EL,K,3)+M_RHO(EL,K,3) !schr. nach M_Sigma
*ENDDO !Ende der Unterschleife (Knoten)
*ENDDO !Ende der Hauptschleife (Elemente)
STATUS,M_Sigma(1,1,1) !Schr. Mat. M_Sigma in Datei *.out
NITER=NITER+1 !zaehlt die Iterationen
C*** Ausgabeteil *****************************************************
:AUSGABE
DATEI='FZ_B3_%NITER%' !Text fuer Variable „Datei“
*CFOPEN,DATEI,ERG !Oeffnet Datei mit oben def. Namen
VorleKno=1-(201-Elemente)/Elemente !Wertzuord. fuer vorletzten Knoten
*DO,EL,1,Elemente,1 !Schleife ueber Elemente
FZ_KnoNr=VorleKno*(1-(Elemente-EL)/(Elemente-1))!Einord. 0 u. VorleKno
S1y=M_Sigma(EL,1,1) !Holt Komponenten d. 1. Knoten
S1z=M_Sigma(EL,1,2) !und bildet Vergleichsspannung
S1yz=M_Sigma(EL,1,3)
S1v=SQRT(S1y**2+S1z**2-S1y*S1z+3*S1yz**2)
F_ZONE=0 !Setzt Zeiger F_ZONE auf Null
*IF,S1v,GT,SY,THEN !Voluminapruefung nach Zarka
F_ZONE=10 !Wenn ja, d. Zeiger a. belieb. Wert
*ENDIF !Wenn nein, hier weiter
*VWRITE,FZ_KnoNr,F_ZONE !schreibt Ergebnisse auf Datei
(F5.3,2X,F4.0) !Formate
*ENDDO !Ende Schleife uber Elemente
FZ_KnoNr=1 !Macht ab hier das gleiche fuer
S2y=M_Sigma(Elemente,2,1) !Knoten 201
S2z=M_Sigma(Elemente,2,2)
S2yz=M_Sigma(Elemente,2,3)
S2v=SQRT(S2y**2+S2z**2-S2y*S2z+3*S2yz**2)
F_ZONE=0
*IF,S2v,GT,SY,THEN
F_ZONE=10
*ENDIF
*VWRITE,FZ_KnoNr,F_ZONE
H. Huhn / Diplomarbeit / Anhang
115
(F5.3,2X,F4.0)
*CFCLOSE !Schliesst Ergebnisdatei
*IF,NITER,EQ,0,THEN !Wenn 0. Iteration, dann zu 1. mod.
*GO,:WEITER !elastischer Analyse (:WEITER)
*ENDIF !Wenn nein, dann hier weiter
FINISH !Beendet Postprozessor
*IF,NITER,LT,Itr_step,THEN !Wenn kleiner als vorgeg. Iteration
*GO,:ITERATIV !dann nächste Iteration
*ENDIF !Wenn nein, dann hier weiter
/EXIT,ALL !speich. PREP- SOLU- u. Postdat
7.3. ANSYS-Eingabeprotokolle zu Abschnitt 4.6.2.
Dehnungsberechnung in Umfangsrichtung am Knoten 201 nach exakter Fließ-
zonentheorie hinsichtlich monotoner Belastung am Bree-Rohr
/BATCH
/OUTPUT,,OUT !schreibt alles auf Datei file.out
/TITLE,BREE-Rohr nach exakter FZT im 2-achsigen Spannungszustand
/STITLE,,BREE-Rohr-Simulation mit PLANE42 (axialsymmetrisch)
/CONFIG,NRES,1e5 !setzt Rechnungschritte
C*** variable Parameter **********************************************
DATEI='EX_Et010' !Text fuer Variable „Datei“
S0zuSY_A=0 !normierte Primaerspannung
S0zuSY_E=1 !A=Anfang und E=Ende
S0_STEP=0.25 !Schrittweite innerhalb A und E
StzuSY_A=0 !normierte Sekundaerspannung
StzuSY_E=10 !A=Anfang und E=Ende
St_STEP=0.5 !Schrittweite innerhalb A und E
SYzuE=1e-3 !elastische Dehngrenze(einheitslos)
EtzuE=0.1 !Verhaeltnis Tangenten- zu E-Modul
tRzuDm=0.0001 !Duennwandigkeit (<1)
C*** konstante Parameter *********************************************
SY=2e2 !Streckgrenze (N/qmm)
alphaT=1.2e-5 !Waermedehnzahl (1/K)
QDZahl=0.3 !Querdehnzahl 0,30 fuer Stahl
tR=2000 !Wanddicke Rohr (mm)
PI=ACOS(-1) !Umfang im Einheitskreis
C*** beeinflusste Parameter ******************************************
E=SY/SYzuE !Elastizitaetsmodul (N/qmm)
Et=EtzuE*E !Verfestigungsmodul (N/qmm)
Dm=tR/tRzuDm !mittlerer Rohrdurchmesser
Ri=(Dm-tR)/2 !innerer Rohrradius
C*** Preprozessor ****************************************************
/PREP7 !Aufruf des Preprozessors
ET,1,PLANE42,,,1 !Keyopt. 3 auf 1 f. Rot. -symmetrie
UIMP,1,EX,,,E !lineares Materialverhalten
UIMP,1,ALPX,,,alphaT !E-Modul,Waermedehnzahl und Quer-
UIMP,1,NUXY,,,QDZahl !dehnzahl in alle Richtungen
TB,BKIN,1 !bilinear kinemat. Mat.- verhalten
H. Huhn / Diplomarbeit / Anhang
116
TBMODIF,2,1,SY !Setzen der Streckgrenze
TBMODIF,3,1,Et !Setzen des Verfestigungsmodul
N,1,Ri !Definieren des Knoten 1
N,201,Ri+tR !Definieren des Knoten 201
FILL,1,201,199 !aequidistante Knotenauffuellung
NGEN,2,201,1,201,1,,10 !Generieren der 2. Knotenreihe
E,1,2,203,202 !Definieren des Elements 1
EGEN,200,1,-1 !Generiert 200 Elemente einschl. E1
CPNGEN,1,UY,202,402,1 !Knotenkopplung in Y-Richtung
FINISH !Beenden des Preprozessors
C*** Erstellen der Ergebnisdatei *************************************
*CFOPEN,DATEI,ERG !Oeffnet Datei mit oben def. Namen
C*** Schleife ueber Primaerspannung **********************************
*DO,S0zuSY,S0zuSY_A,S0zuSY_E,S0_STEP
pinnen=4*tR*S0zuSY*SY/Dm/SQRT(3) !Berechnung des Innendrucks
Nax=PI*Dm*tR*S0zuSY*SY/SQRT(3) !Ber. d. Axialkraft inf. I. -druck
*VWRITE,S0zuSY !schreibt Primaersp. in Datei
(F4.2) !Format
C*** Schleife ueber Sekundaerspannung ********************************
*DO,StzuSY,StzuSY_A,StzuSY_E,St_STEP
deltaT=2*StzuSY*SY*(1-QDZahl)/E/alphaT !Ber. des Temperaturabfalles
C*** Solution Prozessor **********************************************
/SOLU !Aufruf des Solution Prozessors
ANTYPE,0,NEW !charakterisiert den Analysetyp
D,1,UY,,,201,1 !Lager K 1-201 (Axialrichtung)
SFE,1,4,PRES,,pinnen !Oberflaechenlast Seite 4 am E1
F,202,FY,Nax !diskrete Punktlast
C*** Verteilerschleife fuer Simulation des Temperaturgradienten ******
fallendT=deltaT/200 !abfallende Temp. ueber Element
T1=deltaT/2 !Starttemperatur Rohrwand innen
T2=T1-fallendT !Temperatur am Elementende
*DO,allocate,1,200,1 !Schleife ueber 200 Elemente fuer
!Simulation des Temp.gradienten
BFE,allocate,TEMP,1,T1,T2,T2,T1 !Ansetzen Volumenlast in den Knoten
T1=T2 !Berechnung der Temperaturen fuer
T2=T2-fallendT !naechstes Element
*ENDDO !Ende der Temp. -Verteilerschleife
SOLVE !Kommando zum Loesen
FINISH !Beendet Solution Prozessor
C*** Postprozessor ***************************************************
/POST1 !Aufruf des Postprozessors
*GET,elZ_K200,NODE,200,EPEL,Z !Holt el. Z-Dehn. -komp. v. K 200
*GET,elZ_K201,NODE,201,EPEL,Z !Holt el. Z-Dehn. -komp. v. K 201
elast_Z=1.5*(elZ_K201-elZ_K200)+elZ_K200 !Extrapol. an den Rohrrand
*GET,plZ_K200,NODE,200,EPPL,Z !Holt pl. Z-Dehn. -komp. v. K 200
*GET,plZ_K201,NODE,201,EPPL,Z !Holt pl. Z-Dehn. -komp. v. K 201
plast_Z=1.5*(plZ_K201-plZ_K200)+plZ_K200 !Extrapol. an den Rohrrand
elpl_Z=elast_Z+plast_Z !Berech. d. el.-pl. Z-Dehn. -komp.
*VWRITE,StzuSY,elpl_Z !schreibt Ergebnisse auf Datei
(F5.2,2X,F15.10) !Formate
FINISH !Beendet Postprozessor
H. Huhn / Diplomarbeit / Anhang
117
C*** Ende der Schleife ueber Sekundaerspannung ***********************
*ENDDO
C*** Ende der Schleife ueber Primaerspannung *************************
*ENDDO
*CFCLOS !Schliesst Ergebnisdatei
/EXIT,ALL !speich. PREP- SOLU- u. POST-Daten
Dehnungsberechnung in Umfangsrichtung am Knoten 201 nach vereinfachter
Fließzonentheorie hinsichtlich monotoner Belastung am Bree-Rohr
/BATCH
/OUTPUT,,OUT !schreibt alles auf Datei file.out
/TITLE,BREE-Rohr nach vereinfachter FZT im 2-achsigen Spannungszustand
/STITLE,,BREE-Rohr-Simulation mit PLANE42 (axialsymmetrisch)
/CONFIG,NRES,1e5 !setzt Rechnungschritte
C*** variable Parameter **********************************************
DATEI='ZA_Et010' !Text fuer Variable „Datei“
S0zuSY_A=0 !norm. Primaersp. (bei 0: 1e-30)
S0zuSY_E=1 !A=Anfang und E=Ende
S0_STEP=0.25 !Schrittweite innerhalb A und E
StzuSY_A=0 !normierte Sekundaerspannung
StzuSY_E=10 !A=Anfang und E=Ende
St_STEP=0.5 !Schrittweite innerhalb A und E
SYzuE=1e-3 !elastische Dehngrenze(einheitslos)
EtzuE=0.1 !Verhaeltnis Tangenten- zu E-Modul
tRzuDm=0.0001 !Duennwandigkeit (<1)
Itr_step=2 !Anzahl der Iterationen
C*** konstante Parameter *********************************************
SY=2e2 !Streckgrenze (N/qmm)
alphaT=1.2e-5 !Waermedehnzahl (1/K)
QDZahl=0.3 !Querdehnzahl 0,30 fuer Stahl
tR=2000 !Wanddicke Rohr (mm)
PI=ACOS(-1) !Umfang im Einheitskreis
Elemente=200 !Anzahl der Elemente
C*** beeinflusste Parameter ******************************************
E=SY/SYzuE !Elastizitaetsmodul (N/qmm)
Et=EtzuE*E !Verfestigungsmodul (N/qmm)
Dm=tR/tRzuDm !mittlerer Rohrdurchmesser
Ri=(Dm-tR)/2 !innerer Rohrradius
C*** Preprozessor ****************************************************
/PREP7 !Aufruf des Preprozessors
ET,1,PLANE42,,,1 !Keyopt. 3 auf 1 f. Rot. -symmetrie
UIMP,1,EX,,,E !lineares Materialverhalten
UIMP,1,ALPX,,,alphaT !E-Modul,Waermedehnzahl und Quer-
UIMP,1,NUXY,,,QDZahl !dehnzahl in alle Richtungen
N,1,Ri !Definieren des Knoten 1
N,201,Ri+tR !Definieren des Knoten 201
H. Huhn / Diplomarbeit / Anhang
118
FILL,1,201,199 !aequidistante Knotenauffuellung
NGEN,2,201,1,201,1,,10 !Generieren der 2. Knotenreihe
E,1,2,203,202 !Definieren des Elements 1
EGEN,Elemente,1,-1 !Generiert 200 Elemente einschl. E1
CPNGEN,1,UY,202,402,1 !Knotenkopplung in Y-Richtung
FINISH !Beenden des Preprozessors
*DIM,M_El_Kno,ARRAY,Elemente,4,1 !Matrix fuer Elem. -Kn. -Zuordnung
*DIM,M_S_f_el,ARRAY,Elemente,4,3 !Mat. f. fikt. el. Sp. mit 3 Ebenen
*DIM,M_Sigma,ARRAY,Elemente,4,3 !Mat. f. Gesamtspannungen mit 3 Eb.
*DIM,M_RHO,ARRAY,Elemente,4,3 !Mat. f. Restspannungen mit 3 Eb.
C*** Erstellung der Ergebnisdatei ************************************
*CFOPEN,DATEI,ERG !oeffnet Datei mi oben def. Namen
C*** Schleife ueber Primaerspannung **********************************
S0zuSY=S0zuSY_A !Setzt Startwert f. Primaerspannung
:PRIMAER !Sprungadresse f. Schleife P. -sp.
*ENDIF !Beendet IF bei Sprung zu :PRIMAER
pinnen=4*tR*S0zuSY*SY/Dm/SQRT(3) !Berechnung des Innendrucks
Nax=PI*Dm*tR*S0zuSY*SY/SQRT(3) !Ber. der Axialkraft inf. I. -druck
*VWRITE !schreibt Leerzeile in Datei
('') !Format ‘kein Zeichen’
*VWRITE,S0zuSY !schreibt Primaersp. In Datei
(F5.2) !Format
C*** Schleife ueber Sekundaerspannung ********************************
StzuSY=StzuSY_A !Setzt Startwert f. Sekundaer. -sp.
:SEKUND !Sprungadresse f. Schleife S. -sp.
*ENDIF !Beendet IF bei Sprung zu :SEKUND
deltaT=2*StzuSY*SY*(1-QDZahl)/E/alphaT !Ber. des Temperaturabfalles
*VWRITE,StzuSY !schreibt Sekundaersp. In Datei
(F5.2) !Format
C*** fiktiv elastische Analyse ***************************************
/SOLU !Aufruf des Solution Prozessors
ANTYPE,0,NEW !charakterisiert den Analysetyp
D,1,UY,,,201,1 !Lager von K 1-201 (Axialrichtung)
SFE,1,4,PRES,,pinnen !Oberflaechenlast Seite 4 am E1
F,202,FY,Nax !diskrete Punktlast
C*** Verteilerschleife für Simulation des Temperaturgradienten *******
fallendT=deltaT/Elemente !abfallende Temp. ueber Element
T1=deltaT/2 !Starttemperatur (Rohrwand innen)
T2=T1-fallendT !Temperatur am Elementende
*DO,allocate,1,Elemente,1 !Schleife ueber 200 Elemente fuer
!Simulation des Temp. -gradienten
BFE,allocate,TEMP,1,T1,T2,T2,T1 !Ansetzen Volumenlast in den Knoten
T1=T2 !Berechnung der Temperaturen fuer
T2=T2-fallendT !naechstes Element
*ENDDO !Ende der Schleife
SOLVE !Kommando zum Loesen
FDELE,ALL,ALL !Pkt- u. OF-last w. einm. geloescht
SFEDELE,ALL,ALL,ALL !da spaeter nur noch Volumenlast
FINISH !Beendet Solution Prozessor
C*** Auswertung der fiktiv elastischen Analyse ***********************
/POST1 !Aufruf des Postprozessors
H. Huhn / Diplomarbeit / Anhang
119
NITER=0 !zaehlt die Iterationen
*VGET,M_El_Kno(1,1),ELEM,1,NODE,1 !setzt in angegebener Spalte die
*VGET,M_El_Kno(1,2),ELEM,1,NODE,2 !Knotennummern in den vorhandenen
*VGET,M_El_Kno(1,3),ELEM,1,NODE,3 !Reihen der Matrix M_El_Kno
*VGET,M_El_Kno(1,4),ELEM,1,NODE,4
*STATUS,M_El_Kno(1,1) !Schr. Mat. M_El_Kno in Datei *.out
*DO,EL,1,Elemente,1 !Schleife ueber Elem. U. Kn. F. die
*DO,K,1,4,1 !Besetzung von M_S_f_el u. M_Sigma
*GET,S_fel__Y,NODE,M_El_Kno(EL,K),S,Y
*GET,S_fel__Z,NODE,M_El_Kno(EL,K),S,Z
*GET,S_fel_YZ,NODE,M_El_Kno(EL,K),S,YZ
M_S_f_el(EL,K,1)=S_fel__Y
M_S_f_el(EL,K,2)=S_fel__Z
M_S_f_el(EL,K,3)=S_fel_YZ
M_Sigma(EL,K,1)=M_S_f_el(EL,K,1)
M_Sigma(EL,K,2)=M_S_f_el(EL,K,2)
M_Sigma(EL,K,3)=M_S_f_el(EL,K,3)
*ENDDO
*ENDDO
*STATUS,M_S_f_el(1,1,1) !Schr. Mat. M_El_Kno in Datei *.out
*STATUS,M_Sigma(1,1,1) !Schr. Mat. M_Sigma in Datei *.out
EPSStern=0 !0 gesetzt, da in Ausw. gefordert
*GO,:AUSGABE !Sprung zum Ausgabeteil
:WEITER !und wieder zurück und weiter
*ENDIF !Beendet IF bei Sprung zu :WEITER
FINISH !Beenden des Postprozessors
C*** Beginn der Iterationsschleife (modifizierte el. Analyse) ********
:Iterativ !Sprungadresse f. weit. Iteration
*ENDIF !Beendet IF bei Sprung zu :WEITER
/PREP7 !Aufruf des Preprozessors
BFEDELE,ALL,ALL !Loeschen vorheriger Volumenlasten
*DO,EL,1,Elemente,1 !Hauptschleife (ueber Elemente)
MPCHG,1,EL !alle Elemente Materialnr. 1
EMODIF,EL,ESYS,0 !alle Koord. -syst. in Ausg. -pos.
ts1=0 !Setzen der Temperaturen fuer die
ts2=0 !Anfangsdehnungen des elastischen
ts3=0 !Volumina
ts4=0
I=0 !Startwert für Einsch. pl. Volumina
*DO,K,1,4,1 !Unterschleife (ueber Knoten)
sfel%K%y=M_S_f_el(EL,K,1) !fiktiv elastische Spannungs-
sfel%K%z=M_S_f_el(EL,K,2) !komponenten und Vergleichspannung
sfel%K%yz=M_S_f_el(EL,K,3) !im Knoten K (Schleife K=1-4)
sfel%K%v=SQRT(sfel%K%y**2+sfel%K%z**2-sfel%K%y*sfel%K%z+3*sfel%K%yz**2)
S%K%y=M_Sigma(EL,K,1) !Spannungskomponenten und Vergl.-
S%K%z=M_Sigma(EL,K,2) !spannung aus vorhergehender
S%K%yz=M_Sigma(EL,K,3)! !Iteration
S%K%v=SQRT(S%K%y**2+S%K%z**2-S%K%y*S%K%z+3*S%K%yz**2)
*ENDDO !Ende der Unterschleife (Knoten)
sfelmy=(sfel1y+sfel2y+sfel3y+sfel4y)/4 !elementgemittelte el. Haupt-
sfelmz=(sfel1z+sfel2z+sfel3z+sfel4z)/4 !spannungskomponenten und el.
sfelmyz=(sfel1yz+sfel2yz+sfel3yz+sfel4yz)/4 !Hauptsp. (u. gedreht)
PHIm=0.5*ATAN(2*sfelmyz/(sfelmy-sfelmz)) !Koord. -drehwinkel
sfelmH1=sfelmy*(cos(PHIm))**2+sfelmz*(sin(PHIm))**2+2*sfelmyz*sin(PHIm)*cos(PHIm)
sfelmH2=sfelmy*(sin(PHIm))**2+sfelmz*(cos(PHIm))**2-2*sfelmyz*sin(PHIm)*cos(PHIm)
*DO,K,1,4,1 !Unterschleife (ueber Knoten)
*IF,S%K%v,GT,SY,THEN !Voluminapruefung nach Zarka
I=I+1 !Wenn ja, dann Tendez zu pl. Vol.
ts%K%=(1/C)*(sfelmH1-0.5*sfelmH2)*(1-SY/sfel%K%v) !Anfangsdehnung
*ENDIF !W. nein, dann kein I u. Anf.-dehn.
*ENDDO !Ende der Unterschleife (Knoten)
alpha1=1 !Ber. der Ausdehn.-k. für Steuerung
H. Huhn / Diplomarbeit / Anhang
120
alpha2=(sfelmH2-0.5*sfelmH1)/(sfelmH1-0.5*sfelmH2) !der Anf. -dehn.
alpha3=-alpha1-alpha2
*IF,I,GE,3,THEN !Prüfung ob Element zu plastischen
UIMP,EL+1,EX,,,Et !Volumen tendiert
UIMP,EL+1,ALPX,,,alpha3 !Wenn ja, dann modifizierte
UIMP,EL+1,ALPY,,,alpha1 !Materialparameter definieren
UIMP,EL+1,ALPZ,,,alpha2
UIMP,EL+1,NUXY,,,0.5-(0.5-QDZahl)*Et/E
UIMP,EL+1,NUXZ,,,0.5-(0.5-QDZahl)*Et/E
UIMP,EL+1,NUYZ,,,0.5-(0.5-QDZahl)*Et/E
MPCHG,EL+1,EL !neue Materialparameter zuweisen
LOCAL,EL+10,,,,,,PHIm,, !def. neues lok. kart. Koord.-syst.
ESYS,EL+10
EMODIF,EL,ESYS,EL+10
BFE,EL,TEMP,1,ts1,ts2,ts3,ts4 !Zuweisen des Koord. -syst.
*ENDIF !Wenn el. Vol., dann norm. Material
*ENDDO !Ende der Hauptschleife (Elemente)
FINISH !Beendet Preprozessor
/SOLU !Aufruf des Solution Prozessors
SOLVE !Kommando zum Loesen
FINISH !Beendet Solution Prozessor
/POST1 !Aufruf des Postprozessors
*DO,EL,1,Elemente,1 !Hauptschleife (ueber Elemente)
*DO,K,1,4,1 !Unterschleife (ueber Knoten)
*GET,rhoy,NODE,M_El_Kno(EL,K),S,y !Holt Restspannungskomp. des
*GET,rhoz,NODE,M_El_Kno(EL,K),S,z !Knoten K im Element
*GET,rhoyz,NODE,M_El_Kno(EL,K),S,yz
M_RHO(EL,K,1)=rhoy !schreibt Restspannungskomp.
M_RHO(EL,K,2)=rhoz !des Knoten K in Mat. M_RHO
M_RHO(EL,K,3)=rhoyz
M_Sigma(EL,K,1)=M_S_f_el(EL,K,1)+M_RHO(EL,K,1) !Add. fikt. el. Sp.
M_Sigma(EL,K,2)=M_S_f_el(EL,K,2)+M_RHO(EL,K,2) !und Restspannung u.
M_Sigma(EL,K,3)=M_S_f_el(EL,K,3)+M_RHO(EL,K,3) !schr. nach M_Sigma
*ENDDO !Ende der Unterschleife (Knoten)
*ENDDO !Ende der Hauptschleife (Elemente)
STATUS,M_Sigma(1,1,1) !Schr. Mat. M_Sigma in Datei *.out
NITER=NITER+1 !zaehlt die Iterationen
*GET,EPSelast,NODE,201,EPEL,Z !Holt Komp. fuer Epsilon Stern in
*GET,EPStherm,NODE,201,EPTH,Z !Umfangsrichtung
EPSStern=EPSelast+EPStherm !Berechnung Epsilon Stern
C*** Ausgabeteil *****************************************************
:AUSGABE
Sigma_Y=M_Sigma(200,2,1) !Holt Spannungskomp. des Kn. 201
Sigma_Z=M_Sigma(200,2,2)
EPS_el=(-QDZahl*Sigma_Y+Sigma_Z)/E !Ber. der elast Dehnung in U.-rich.
RHO_Y=M_RHO(200,2,1) !Holt Restspannungskomp. des
RHO_Z=M_RHO(200,2,2) !Knoten 201
EPS_pl=EPSStern-(-QDZahl*RHO_Y+RHO_Z)/E !Ber. d. pl. Deh. in U.-rich.
EPSelpl=EPS_el+EPS_pl !el.-pl. Dehnung in Umfangsrichtung
*VWRITE,NITER,EPSelpl !schreibt Iterationsnr. U. Dehnung
(F5.2,2X,F15.10) !in Datei mit angegebenen Format
*IF,NITER,EQ,0,THEN !Wenn 0. Iteration, dann zu 1. mod.
*GO,:WEITER !elastischer Analyse (:WEITER)
*ENDIF !Wenn nein, dann hier weiter
FINISH !Beendet Postprozessor
*IF,NITER,LT,Itr_step,THEN !Wenn kleiner als vorgeg. Iteration
*GO,:ITERATIV !dann nächste Iteration
*ENDIF !Wenn nein, dann hier weiter
C*** Ende der Schleife ueber Sekundaerspannung ***********************
H. Huhn / Diplomarbeit / Anhang
121
*IF,StzuSY,LT,StzuSY_E,THEN !Pruef. ob Endwert erreicht
StzuSY=StzuSY+St_STEP !Ber. der naechsten Sekundaer -sp.
*GO,:SEKUND !Sprung zur Berech. d. neuen S.-sp.
*ENDIF !Wenn nein, dann hier weiter
C*** Ende der Schleife ueber Primaerspannung ************************
*IF,S0zuSY,LT,S0zuSY_E,THEN !Pruef. ob Endwert erreicht
S0zuSY=S0zuSY+S0_STEP !Ber. der naechsten Primaer -sp.
*GO,:PRIMAER !Sprung zur Berech. d. neuen P.-sp.
*ENDIF !Wenn nein, dann hier weiter
*CFCLOS !Schliesst Ergebnisdatei
/EXIT,ALL !speich. PREP- SOLU- u. Postdaten
7.4. ANSYS-Eingabeprotokoll zu Abschnitt 4.6.3.
Vergleichsdehnungsberechnung am Knoten 201 nach exakter Fließzonentheorie
hinsichtlich zyklischer Belastung am Bree-Rohr
/BATCH
/OUTPUT,,OUT !schreibt alles auf Datei file.out
/TITLE,BREE-Rohr nach exakter FZT im 2-achsigen Spannungszustand
/STITLE,,BREE-Rohr-Simulation mit PLANE42 (axialsymmetrisch)
/CONFIG,NRES,1e5 !setzt Rechnungschritte
C*** variable Parameter **********************************************
DATEI='INTERAKT' !Text fuer Variable „Datei“
S0zuSY_A=0 !normierte Primaerspannung
S0zuSY_E=1 !A=Anfang und E=Ende
S0_STEP=0.05 !Schrittweite innerhalb A und E
StzuSY_A=0 !normierte Sekundaerspannung
StzuSY_E=12 !A=Anfang und E=Ende
St_STEP=0.1 !Schrittweite innerhalb A und E
SYzuE=1e-3 !elastische Dehngrenze(einheitslos)
EtzuE=0.1 !Verhaeltnis Tangenten- zu E-Modul
tRzuDm=0.0001 !Duennwandigkeit (<1)
ABRKRIT=9e-1 !Abbruchkriterium (bei eingespielt)
C*** konstante Parameter *********************************************
SY=2e2 !Streckgrenze (N/qmm)
alphaT=1.2e-5 !Waermedehnzahl (1/K)
QDZahl=0.3 !Querdehnzahl 0,30 fuer Stahl
tR=2000 !Wanddicke Rohr (mm)
PI=ACOS(-1) !Umfang im Einheitskreis
C*** beeinflusste Parameter ******************************************
E=SY/SYzuE !Elastizitaetsmodul (N/qmm)
Et=EtzuE*E !Verfestigungsmodul (N/qmm)
Dm=tR/tRzuDm !mittlerer Rohrdurchmesser
Ri=(Dm-tR)/2 !innerer Rohrradius
C*** Preprozessor ****************************************************
/PREP7 !Aufruf des Preprozessors
ET,1,PLANE42,,,1 !Keyopt. 3 auf 1 f. Rot. -symmetrie
H. Huhn / Diplomarbeit / Anhang
122
UIMP,1,EX,,,E !lineares Materialverhalten
UIMP,1,ALPX,,,alphaT !E-Modul,Waermedehnzahl und Quer-
UIMP,1,NUXY,,,QDZahl !dehnzahl in alle Richtungen
TB,BKIN,1 !bilinear kinemat. Mat.- verhalten
TBMODIF,2,1,SY !Setzen der Streckgrenze
TBMODIF,3,1,Et !Setzen des Verfestigungsmodul
N,1,Ri !Definieren des Knoten 1
N,201,Ri+tR !Definieren des Knoten 201
FILL,1,201,199 !aequidistante Knotenauffuellung
NGEN,2,201,1,201,1,,10 !Generieren der 2. Knotenreihe
E,1,2,203,202 !Definieren des Elements 1
EGEN,200,1,-1 !Generiert 200 Elemente einschl. E1
CPNGEN,1,UY,202,402,1 !Knotenkopplung in Y-Richtung
FINISH !Beenden des Preprozessors
C*** Erstellen der Ergebnisdatei *************************************
*CFOPEN,DATEI,ERG !Oeffnet Datei mit oben def. Namen
C*** Schleife ueber Primaerspannung **********************************
*DO,S0zuSY,S0zuSY_A,S0zuSY_E,S0_STEP
pinnen=4*tR*S0zuSY*SY/Dm/SQRT(3) !Berechnung des Innendrucks
Nax=PI*Dm*tR*S0zuSY*SY/SQRT(3) !Ber. d. Axialkraft inf. I. -druck
*VWRITE,S0zuSY !schreibt Primaersp. in Datei
(F4.2) !Format
C*** Schleife ueber Sekundaerspannung ********************************
*DO,StzuSY,StzuSY_A,StzuSY_E,St_STEP
deltaT=2*StzuSY*SY*(1-QDZahl)/E/alphaT !Ber. des Temperaturabfalles
C*** Solution Prozessor **********************************************
/SOLU !Aufruf des Solution Prozessors
ANTYPE,0,NEW !charakterisiert den Analysetyp
PRED,ON,,OFF !nummerische Hilfen
CNVTOL,F,,0.00001,,1 !Annaeherungstoleranz der Kraft
D,1,UY,,,201,1 !Lager K 1-201 (Axialrichtung)
SFE,1,4,PRES,,pinnen !Oberflaechenlast Seite 4 am E1
F,202,FY,Nax !diskrete Punktlast
SOLVE !Kommando zum Loesen
LOADSTEP=1 !Variable zum Zaehlen der SOLVE
*GET,UX201,NODE,201,U,X !X-Versch. von K 201 auf UX201
UX201alt=UX201 !UY402alt f. Ber. Dehnungszuwachs
C*** Schleife fuer zyklische Belastung *******************************
*DO,ZYKLEN,1,10000 !Schleife max 10000 Durchgaenge
C*** Verteilerschleife fuer Simulation des Temperaturgradienten *****
fallendT=deltaT/200 !abfallende Temp. ueber Element
T1=deltaT/2 !Starttemperatur Rohrwand innen
T2=T1-fallendT !Temperatur am Elementende
*DO,allocate,1,200,1 !Schleife ueber 200 Elemente fuer
!Simulation des Temp.gradienten
BFE,allocate,TEMP,1,T1,T2,T2,T1 !Ansetzen Volumenlast in den Knoten
T1=T2 !Berechnung der Temperaturen fuer
T2=T2-fallendT !naechstes Element
*ENDDO !Ende der Temp. -Verteilerschleife
SOLVE !Kommando zum Loesen
LOADSTEP=LOADSTEP+1 !Zaehlt SOLVE
BFEDELE,ALL,ALL !Loeschen der Temperatur
H. Huhn / Diplomarbeit / Anhang
123
SOLVE !Kommando zum Loesen
LOADSTEP=LOADSTEP+1 !Zaehlt SOLVE
*GET,UX201,NODE,201,U,X !X-Versch. von K 201 auf UX201
C*** Schleifenabbruch bei Abbruchkriterium **************************
*IF,ABS(UX201-UX201alt),LT,ABRKRIT,EXIT !Abbruch da eingespielt
UX201alt=UX201 !setzt UX201alt auf aktuellen UX201
*ENDDO !Ende der zykl. Belastungsschleife
FINISH !Beendet Solution Prozessor
C*** Postprozessor ***************************************************
/POST1 !Aufruf des Postprozessors
*GET,VSpann,NODE,201,S,EQV !Holt Vergl. -sp. f. Var. VSpann
*GET,X,NODE,201,EPPL,X !Holt plast. Dehn.- komp. und
*GET,Y,NODE,201,EPPL,Y !setzt auf entsprechende Variable
*GET,Z,NODE,201,EPPL,Z
*GET,XY,NODE,201,EPPL,XY
*GET,YZ,NODE,201,EPPL,YZ
*GET,XZ,NODE,201,EPPL,XZ
el_VD=VSpann/E !Berech. elast. Vergl. -dehnung
pl_VD=SQRT(2)/3*SQRT((X-Y)**2+(X-Z)**2+(Y-Z)**2+6*(XY**2+YZ**2+XZ**2))
!Berech. plast. Vergl. -dehnung
elplVDEY=(el_VD+pl_VD)/SYzuE !el.-pl. Vergleichsdehnung
ZYKLEN=ZYKLEN-1 !Berech. erf. Zyk.-zahl f. eingesp.
*VWRITE,StzuSY,elplVDEY,ZYKLEN !schreibt Ergebnisse auf Datei
(F5.2,2X,F15.10,2X,F5.0) !Formate
FINISH !Beendet Postprozessor
C*** Ende der Schleife ueber Sekundaerspannung ***********************
*ENDDO
C*** Ende der Schleife ueber Primaerspannung *************************
*ENDDO
*CFCLOS !Schliesst Ergebnisdatei
/EXIT,ALL !speich. PREP- SOLU- u. POST-Daten
H. Huhn / Diplomarbeit / Erklärung
124
8. Erklärung
Selbständigkeitserklärung
Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig und unter aus-
schließlicher Verwendung der angegebenen Quellen und Hilfsmittel angefertigt habe.
Cottbus 10. Februar 1998
Holger Huhn
