Lastfallstudien hinsichtlich zyklischer Beanspruchungen nach exakter
Fließzonentheorie und Anwendung einer vereinfachten Fließzonentheorie
auf das Bree-Rohr mit dem FEM-Programm ANSYS
DIPLOMARBEIT
FACHHOCHSCHULE LAUSITZ
FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN
eingereicht von : Holger Huhn, Matr. 93 BI
Betreuer : Prof. Dr.-Ing. H. Hübel
Cottbus, Februar 1998
Das vorliegende Werk ist auf der Grundlage der neuen amtlichen Rechtschreibregeln verfasst.
Fachhochschule Lausitz
Fachbereich Bauingenieurwesen
Aufgabenstellung zur Diplomarbeit
für Huhn, Holger Matr. 932358
Thema: Lastfallstudien hinsichtlich zyklischer Beanspruchungen nach exakter
Fließzonentheorie und Anwendung einer vereinfachten Fließzonen-
theorie auf das Bree-Rohr mit dem FEM-Programm ANSYS
Leistungen / Bearbeitungsschwerpunkte:
• Lastfallstudien hinsichtlich der Kombinationen aus konstanten und
zyklischen Belastungen am Zwei-Stab-System nach exakter Fließzo-
nentheorie
• Untersuchung des trilinearen Werkstoffmodells am Zwei-Stab-System
• Vergleich der exakten mit einer vereinfachten Fließzonentheorie
bezüglich der Fließzonen- und Dehnungsberechnung am Bree-Rohr
bei monotoner Belastung
Ausgabetermin : 21. November 1997
Abgabetermin : 13. Februar 1998
Betreuer : Prof. Dr.-Ing. H. Hübel
(Unterschrift des Betreuers)
H. Huhn / Diplomarbeit / Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung 5
2. Bezeichnungen 6
3. Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter Fließzonentheorie 7
3.1. Ratcheting-Typen 7
3.2. Das Zwei-Stab-System 8
3.3. Werkstoffmodelle für das Zwei-Stab-System 9
3.4. Belastungsannahmen für das Zwei-Stab-System 16
3.5. Parametrisierung 20
3.6. Graphische Ermittlung zu Ratcheting für den Präzedenzfall A
b
23
3.7. Nummerische Lösungsansätze über die Finite-Element-Methode
und FEM-Programm ANSYS 27
3.7.1. Was ist die Finite-Element-Methode? 27
3.7.2. Das FEM-Programm ANSYS 29
3.8. Auswertungsstrategien für die nummerische Lösung 30
3.9. Lastfallstudien nach der Finite-Element-Methode 31
3.9.1. Fall A: konstante Primärspannung - zyklische Sekundärspannung 32
3.9.1.1. Fall A
b
: bilineares Wekstoffverhalten 32
3.9.1.2. Fall A
b,Vord.
: bil. Werkstoffverhalten und Vordehnung 36
3.9.1.3. Fall A
t
: trilineares Werkstoffverhalten 42
3.9.2. Fall B: zyklische Primärspannung - konstante Sekundärspannung 51
3.9.3. Fall C: zyklische Primärspannung - zyklische Sekundärspannung 54
3.9.3.1. Fall C
1
: Primär- u. Sekundärspannung sind phasengleich 55
3.9.3.2. Fall C
2
: Sekundärspannung um ¼ Phase verschoben 60
3.9.3.3. Fall C
3
: Sekundärspannung um ½ Phase verschoben 68
3.9.3.4. Fall C
4
: Primär- und Sekundärspannung alternieren 71
4. Anwendung einer vereinfachten Fließzonentheorie auf das Bree-Rohr 72
4.1. Das Bree-Modell 72
4.2. Werkstoffverhalten bei dreiachsigen Spannungszustand und monotoner
Belastung 73
4.3. Vereinfachte Fließzonentheorie nach der Zarka-Methode 78
4.3.1. Funktionsweise der Zarka-Methode 78
4.3.2. Anwendung der Zarka-Methode auf eine diskretisierte Struktur 79
4.4. Simulation der Rohrstruktur mittels des ANSYS-Elementtyps Plane 42 80
4.5. Belastungsberechnungen für die Eingabe der Belastungsparameter 82
4.6. FE-Analysen am Bree-Rohr bei monotoner und zyklischer Belastung 84
4.6.1. Fließzonen nach Zarka bei monotoner Belastung 84
4.6.2. Dehnungen nach Zarka bei monotoner Belastung 89
4.6.3. Dehnungsanalyse nach exakter Fließzonentheorie bei zyklischer
Belastung 98
5. Zusammenfassung und Ausblick 103
6. Schrifttum 104
7. Anhang 106
8. Erklärung 124
H. Huhn / Diplomarbeit / Einleitung
5
1. Einleitung
Der entscheidende Wandel im Laufe der letzten drei Jahrzehnte besteht in der Erkennt-
nis, dass die Natur, wie der Wissenschaftler Ian Stewart es formuliert hat, „erbar-
mungslos nichtlinear“ ist [8]. Nichtlineare Phänomene beherrschen die unbelebte Welt
weitaus mehr, als die Wissenschaft geglaubt hatte. Das in diesem Jahrhundert entdeckte
Phänomen Ratcheting ist eines solcher nichtlinearen Phänomene. In der Praxis begegnet
man diesem Phänomen etwa bei der Betreibung von kerntechnischen Anlagen. Hierbei
kommt es zu zyklisch-überelastischen Beanspruchungen in den Komponenten (z.B.
Rohrstrukturen) der Anlage. Das Phänomen Ratcheting entsteht grob gesagt auf
Grundlage des nichtlinearen Materialverhaltens und einer oder mehrerer schwellend
ablaufenden Beanspruchungen, deren Zusammenwirken zu einer Zunahme der elas-
tisch-plastischen Dehnungen von Zyklus zu Zyklus führt.
Ziel der hier vorliegenden Arbeit ist es, anhand eines gewählten Erklärungsmodells das
Phänomen Ratcheting detailliert zu erklären und den Einfluss unterschiedlich schwel-
lend ablaufender Beanspruchungen zu untersuchen. Weiterhin wird die Anwendbarkeit
einer vereinfachten Fließzonentheorie auf eine Rohrstruktur (Bree-Rohr) untersucht, die
das vorliegende nichtlineare Problem in ein Iterationsverfahren linearer Analysen über-
führt. Hierbei handelt es sich um die Zarka-Methode, die hier jedoch nur unter dem As-
pekt der monotonen Beanspruchung angesetzt wird. Motivation für die hier vorliegende
Arbeit gibt das derzeit von Professor Hübel durchgeführte Forschungsvorhaben SR
2226, welches auf die Präzisierung des kerntechnischen Regelwerkes hinsichtlich des
Ratcheting-Nachweises abzielt.
Das zur Verfügung stehende mathematische Werkzeug für die Lösung der in dieser
Arbeit gestellten Aufgaben ist die Finite-Element-Methode. Diese Methode, auf die
noch später eingegangen werden soll, wurde durch freundliche Unterstützung der Fach-
hochschule Lausitz in Form des kommerziellen FE-Programms ANSYS zur Verfügung
gestellt.
H. Huhn / Diplomarbeit / Bezeichnungen
6
2. Bezeichnungen
σ
σ
σ
i ij V
, , Hauptspannungen, Spannungskomponenten, Vergleichsspannung (Mises)
′
′
σ
σ
i ij
, deviatorische Hauptspannungen, deviatorische Spannungskomponenten
ξ
i
Hauptrückspannungen (Translationstensoren)
ρ
i
Hauptrestspannungen
σ
0
Primärspannung
σ
t
Sekundärspannung
σ
yi
Fließgrenzen
ε
ε
ε
i ij V
, , Hauptdehnungen, Dehnungskomponenten, Vergleichsdehnung (Mises)
ε
y
elastische Grenzdehnung
ε
el.
elastische Dehnung
ε
pl.
plastische Dehnung
ε
th
thermische Dehnung
ε
el pl. .−
elastisch-plastische Dehnung
ε
ε
0 0
,
,i
Vordehnung, Vordehnungskomponenten
γ
ij
Gleitungskomponenten (Winkeländerung)
E
Elastizitätsmodul
E
ti
Verfestigungsmoduln
C
ti
plastische Verfestigungsmoduln
ν
ν
, Querdehnungszahl, effektive Querdehnungszahl
V V
e p
, elastische bzw. plastische Teilvolumina des Bauteils
t
s
Temperatur
∆
T
Temperaturgradient
α
α
t i
, Wärmedehnzahl, modifizierte Wärmedehnzahlen
t
Zeit
n
Zyklenzahl
.
.
.
.f el
fiktiv elastisch berechnete Größe
.
.
.
*
modifizierte Materialkonstanten
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
7
3. Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter Fließ-
zonentheorie
3.1. Ratcheting-Typen
Die Untersuchungen am Erklärungsmodell (Zwei-Stab-System) sowie an der Rohr-
struktur (Bree-Rohr, siehe Abschnitt 4) sind dem Ratcheting-Typ A unterzuordnen.
Neben dem Ratcheting-Typ A steht der Ratcheting-Typ B [18]. Der Typ A benötigt im
Gegensatz zum Typ B zum Entstehen des Phänomens Ratcheting zuzüglich zur zyk-
lischen Beanspruchung entweder eine konstant oder eine zyklisch primär wirkende Be-
lastung. Die Abbildungen 1 und 2 zeigen zwei elementare Modelle hinsichtlich der
Ratcheting-Typen A und B.
Der Ratcheting-Typ B wird derzeit in einer Arbeit von Olbrich untersucht. Die in
Abbildung 1 und 2 vorgestellten Modelle tragen weniger praktische Bedeutung sondern
dienen auf Grund ihrer idealen Struktur ausgezeichnet der Erklärung des hier unter-
suchten Phänomens Ratcheting.
starrer Körper starrer Körper
Stab 1 Stab 2 Stab 1
Stab 2
Stab 3
T T
3
T
2
T
1
zyklisch
thermische
Dehnung
therm. Dehnungen für eine Periode t
0
:
T
1
( 0 < t ≤
≤≤
≤ 1/3 t
0
)
T
1
( 1/3 t
0
< t ≤
≤≤
≤ 2/3 t
0
)
T
1
( 2/3 t
0
< t
≤
≤≤
≤
t
0
)
P
P = konstant
Zwei-Stab-System
Drei-Stab-System
Abbildung 1: Ratcheting-Typ A Abbildung 2: Ratcheting-Typ B
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
8
3.2. Das Zwei-Stab-System
Die Erklärung und Untersuchung des Phänomens „Struktur-Ratcheting“ gelingt am
besten an einer sehr einfachen Struktur mit den zur Entstehung des Phänomens not-
wendigsten Randbedingungen und mit stark simplifizierten Materialeigenschaften und
Lasteinwirkungen. Aus Voruntersuchungen ist bekannt, dass im einfachsten Fall eine
einachsige Beanspruchung angenommen werden kann [1]. Der Fachwerk-Stab bietet
hier den idealen Ansatz. Das einfachste Ratcheting-Modell führt zum Zwei-Stab-Sys-
tem, bestehend aus zwei miteinander gekoppelten Fachwerkstäben (siehe Abbildung 3).
Das Prägnante an diesem System ist die strukturelle Kopplung der beiden Fach-
werkstäbe mit Hilfe eines starren Körpers. Diese Knotenkopplung ermöglicht in diesem
System das sogenannte „Struktur-Ratcheting“. Der starre Körper bewirkt in beiden
Stäben die gleiche Längenänderung. Die Querschnitte in den Stäben werden gleich
starrer Körper
Belastung:
- Temperatur
(konstant oder zyklisch)
- Vordehnung
Querschnitte:
A
1
=A
2
Belastung:
Kraft (konstant oder zyklisch)
S
1
S
2
K
1
K
3
K
2
K
4
Länge
Abbildung 3: Zwei-Stab-System
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
9
gesetzt. Die Beanspruchungen werden durch die Kraft über die Querschnitte als
Primärspannung und im Stab 1 durch Temperatur am gesamten Stab als Sekun-
därspannung aufgetragen. Je nach Lastfall wird eine Vordehnung im Stab 1 be-
rücksichtigt.
3.3. Werkstoffmodelle für das Zwei-Stab-System
Wie schon im Abschnitt 3.2. erwähnt, werden für das Werkstoffverhalten vereinfachte
Modelle verwendet. Das Phänomen „Ratcheting“ ist weitgehend aus dem Kern-
kraftwerk- und Anlagenbau bekannt. Somit gibt die Praxis den für das Werkstoffmodell
in Ansatz zu bringenden Werkstoff vor. Grundlage bildet der Edelstahl, der sich bis zur
Höchstzugspannung durch monotones Verhalten im Spannungs-Dehnungs-Zusammen-
hang auszeichnet. Abbildung 4 zeigt eine Spannungs-Dehnungs-Linie im einachsigen
Zugversuch.
Mathematisch betrachtet ergibt sich aus der Spannungs-Dehnungs-Linie eine kompli-
zierte Funktion in Abhängigkeit von der Spannung σ und Dehnung ε. Eine solche
Funktion als Materialeigenschaft würde jedoch den Rechenaufwand, ob Handrechnung
(für einfache Strukturen) oder Computerrechnung (für komplexe Strukturen), drastisch
erhöhen. Wie oben erwähnt, werden also vereinfachte Rechenmodelle verwendet,
ε
εε
ε
σ
σσ
σ
σ
y
ε
y
σ
B
σ
H
ε
B
σ
H
Höchstzugspannung
σ
B
Bruchspannung
σ
y
Streckgrenze
ε
B
Bruchdehnung
ε
G
Betrachtungsgrenze
ε
y
elastische Dehngrenze
ε
G
verfestigender Bereich
elastischer Bereich
Betrachtungsbereich
Abbildung 4: verzerrte Spannungs-Dehnungs-Linie eines Edelstahls
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
10
welche die tatsächliche Funktion ersetzen, und damit den Rechenaufwand auf ein güns-
tiges Maß reduzieren. Wie in Abbildung 4 dargestellt, wurden bei Materialuntersu-
chungen, unter einmaliger monotoner Be- und Entlastung unterhalb oder bis zum Bruch,
zwei unterschiedliche Bereiche entdeckt:
• elastischer Bereich (klassisch: Hooke’sche Gerade und Gesetz)
Stähle zeigen als kristalline Stoffe bei Zug- oder Druckbeanspruchung bis zu
einer bestimmten Spannung σ
y
(Streckgrenze) ein rein elastisches Verhalten, das
durch die im Kristallgitter herrschenden Anziehungskräfte bestimmt ist. Es treten
nur Gitterverzerrungen in den Kristalliten auf, die sich bei Entlastung voll
zurückbilden [2].
• verfestigender Bereich (plastisches Fließen)
Bei kristallinen Stoffen tritt eine nennenswerte bleibende Verformung erst
oberhalb der Streckgrenze σ
y
auf, die durch die ersten größeren Gleitungen und
Versetzungen im Kristallgitter oder zwischen den Kristallen bestimmt ist. Dabei
nehmen die Verformungen zu, ohne dass die Spannung wesentlich erhöht
werden muss. Mit Abnahme der Gleitmöglichkeiten verfestigt sich der Stoff,
wodurch ein weiteres Fließen bei höheren Spannungen verhindert wird [2].
Bei der Wahl der im folgenden benutzten Werkstoffparameter ist zu beachten, dass die
ingenieurtechnischen Regelwerke Grenzwerte für örtliche Dehnungen festlegen. Eine
Betrachtungsgrenze ε
G
kann danach auf 5% Dehnung festgelegt werden, obwohl die
Dehnungsreserven des Stahls das 300- bis 400-fache der elastischen Dehngrenze bis
zum Bruch betragen. Der Aufbau eines geeigneten Rechenmodells erfolgt über den
klassischen Ansatz, dem Hooke’schen Elastizitätsgesetz, und der Weiterführung eines
oder mehrerer Verfestigungsgesetze innerhalb des Betrachtungsbereichs. Eine Mög-
lichkeit zu deren Beschreibung besteht im Aneinanderreihen von linearen Funktionen,
die durch einen von Funktion zu Funktion flacher werdenden Anstieg charakterisiert
werden und die damit den Effekt der Verfestigung simulieren. Diese so entstandenen
Werkstoffmodelle werden als „multilineare Werkstoffmodelle“ bezeichnet. Die Abbil-
dungen 5 und 6 zeigen zwei Varianten, die in den nachstehenden Lastfalluntersuchung-
en zur Anwendung kommen. Das Elastizitätsmodul E beschreibt den Anstieg des elas-
tischen Bereiches und die Tangentenmoduln E
ti
beschreiben den Anstieg des Verfesti-
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
11
gungsbereiches. Diese Anstiegsmoduln können in ihren Bereichen wie folgt definiert
werden:
E bzw E i
ti
. ; , , ...= =
∆σ
∆ε
1 2
Bei Entlastung aus dem Verfestigungsbereich oder dem elastischen Bereich tritt rein
elastisches Verhalten auf, welches ebenfalls durch den Elastizitätsmodul E beschrieben
wird. Die Entlastung erfolgt bei spannungsgesteuerter Belastung bis zum Null-
Spannungszustand. Die auf diesem Weg zurückgelegte Dehnung wird elastische Deh-
nung ε
el
genannt. Die bleibende Verformung aus ε - ε
el
nennt man plastische Dehnung
ε
pl
. Somit können für das bilineare [4] bzw. trilineare Werkstoffmodell bei monotoner
Be- und Entlastung im Zugbereich folgende Gesetze formuliert werden:
ε
ε
ε
=
+
el pl
mit
ε
σ
el
E
= und
ε
pl
=
( )
0
1
1
1
2 1
2 1
1
2
2
2
,
,
,
wenn
C
wenn
C C
wenn
y
y
y y
y y y
y
σ σ
σ σ
σ σ σ
σ σ σ σ
σ σ
≤
−
> ≥
−
+
−
≥
.
σ
σσ
σ σ
σσ
σ
ε
εε
ε ε
εε
ε
σ
y1
σ
y1
σ
y2
E
E
E
t1
E
t1
E
t2
ε
pl
ε
el
ε
pl
ε
el
∆σ
∆ε
E
E
Abbildung 5: bilineares Werkstoffmodell Abbildung 6: trilineares Werkstoffmodell
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
12
Hierbei sind C
i
die plastischen Verfestigungsmoduln, welche in einem modifizierten
plastischen Werkstoffmodell dargestellt werden können (siehe Abbildung 7).
Diese plastischen Verfestigungsmoduln können mit Hilfe der Rheologie, bei der die
Erscheinungen des Fließens fester Systeme unter Einwirkung äußerer Kräfte untersucht
werden [3], hergeleitet und wie folgt definiert werden [6]:
C
E E
E E
E E
t
t
t1
1
1
1
0=
⋅
−
≤ ≤;
C
E E
E E
E E
t
t
t t2
2
2
2 1
0=
⋅
−
≤ ≤; .
Einen Sonderfall stellt die Bedingung E
t1
= 0 dar. Hierbei entsteht ein linear elastisch-
ideal plastisches Werkstoffverhalten, welches die Grundlage für die Fließgelenktheorie
vorgibt. Das linear elastisch-ideal plastische Werkstoffverhalten wurde für das Zwei-
Stab-System durch die FE-Analysen von Glede [1] ausreichend behandelt.
Das bisher beschriebene Materialverhalten, abgeleitet aus dem einachsigen Zugversuch,
ist jedoch für die Untersuchung am Zwei-Stab-Modell noch nicht ausreichend. Die Vor-
untersuchungen zeigen, dass im Zusammenspiel der Eigenschaften des Systems und der
Belastungen, Druckspannungen in den Fachwerkstäben erzeugt werden. Da bisher nur
die Entstehung der bleibenden plastischen Dehnung bei einem Zugversuch eines
σ
σσ
σ
ε
εε
ε
pl
σ
y1
C
1
σ
y2
C
2
Abbildung 7: plastische Verfestigungsmoduln im modifizierten plastischen Werkstoffmodell
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
13
Probekörpers betrachtet wurde, ist also das Verhalten des Werkstoffes auch im Druck-
spannungsbereich zu prüfen. Nun stellen sich viele Fragen:
Wie verhält sich das Material bei reiner Schwellbeanspruchung oder mit Vorspannung
im Zug- und Druckbereich? Oder, wie verhält sich das Material bei Wechselbeanspru-
chungen mit oder ohne Vorspannung?
Bei den hier betrachteten Stählen wurde beobachtet, dass der sogenannte Bauschinger-
Effekt auftritt. Dieser Bauschinger-Effekt wird technisch bei der Kaltverformung der
Metalle genutzt und wird wie folgt umschrieben:
Ein über die Streckgrenze belasteter und wieder entlasteter Probekörper verhält sich bei
einer zweiten Belastung zunächst elastisch und beginnt erst zu fließen, wenn er die
Größe der ersten Belastung wieder erreicht hat (Abbildung 8 links). Die Fließgrenze
erhöht sich noch, wenn man zwischen Ent- und Zweitbelastung einige Zeit verstreichen
lässt [2] (die Erhöhung der Fließgrenze wird hier bei den Untersuchungen am Zwei-
Stab-System aus Vereinfachungsgründen nicht angesetzt). Der vorweggenommene Ver-
formungsanteil fehlt dann jedoch im Bruchzustand, das heißt das Metall ist nicht mehr
so verformungsfähig. Wird der Probekörper bei der zweiten Beanspruchung ent-
sprechend der schematischen Darstellung in Abbildung 8 rechts mit umgekehrten Vor-
zeichen (Druckspannung) belastet, so wird die Streckgrenze um den sonst gewonnenen
Betrag ∆σ
y
vermindert, das heißt das Fließen tritt schon vor der jungfräulichen Fließ-
grenze ein [2]. Der dabei zurückgelegte elastische Spannungsbereich beträgt zwei mal
den Betrag der jungfräulichen Streckgrenze. Das gleiche Verhalten zeigt sich beim Ent-
lasten aus dem Druckspannungsbereich und dem darauf folgenden Belasten im Zug-
spannungsbereich. Bei alternierenden Zug- und Druckspannungen des gleichen Betra-
ges entwickelt sich eine sogenannte Spannungs-Dehnungs-Hysterese. Sind die Beträge
der wiederkehrenden Spannungen unterschiedlich, dann verschiebt sich die Hysterese
(siehe Abbildung 9).
Eine Hysterese kann man auch erklären als das Zurückbleiben einer Wirkung hinter dem
jeweiligen Stand der sie bedingenden Spannung [3].
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
14
σ
σσ
σ
σ
σσ
σ
ε
εε
ε
ε
εε
ε
σ
y1
σ
y1
−σ
y1
−σ
−σ−σ
−σ
−ε
−ε−ε
−ε
2σ
y1
∆σ
y1
∆σ
y1
∆σ
y1
zeitabhängige Erhöhung
der Fließgrenze
Abbildung 8: Bauschinger-Effekt und Spannungs-Dehnungs-Hysterese
σ
σσ
σ
ε
εε
ε
σ
y1
−σ
y1
−σ
−σ−σ
−σ
−ε
−ε−ε
−ε
2σ
y1
∆σ
y1
∆σ
y1
Abbildung 9: Entwicklung von Spannungs-Dehnungs-Hysteresen
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
15
Das auf dem Bauschinger-Effekt basierende Materialverhalten wird durch das
kinematische Verfestigungsgesetz erfasst. Das heißt, die Verfestigungsgrenze (Fließ-
grenze) ist verschiebbar (beweglich; kinematisch). Dieses Gesetz ist gültig für alle
multilinearen Werkstoffmodelle, wobei die weiteren Verfestigungsgrenzen nach Ab-
schluss der Jungfräulichkeit und gegenläufiger Belastung nach dem Betrag 2•(σ
yi+1
-σ
yi
)
(i = 1, 2, 3, ...) zur vorherigen Verfestigungsgrenze auftreten.
Damit ist das Verhalten des Materials im einachsigen Spannungs-Dehnungs-Zustand
zum Zwecke der Erklärung und Untersuchung des Phänomens Ratcheting ausreichend
dargelegt. Hinweisend ist zu beachten, dass eine sogenannte isotrope Verfestigung aus
dem realen Materialverhalten bekannt ist, jedoch hier nicht berücksichtigt wird, da die
kinematische Verfestigung die dominierende Rolle spielt [5].
Der gleiche Materialverhaltensansatz ist auch für die dehnungsgesteuerten Belastungen
(z.B. Temperatur) gültig. Zwischen der Temperaturänderung ∆t
s
in K und der Wärme-
dehnung ε
th
soll ein vereinfachter linearer Zusammenhang angenommen werden. Unter
Verwendung eines Proportionalitätsfaktors α
t
in K
-1
lässt sich dieser Zusammenhang
formulieren [7]:
ε α
th
t
s
t=
∆
.
Dieser Proportionalitätsfaktor wird Wärmedehnzahl genannt und beträgt für Stahl im
Allgemeinen etwa [7]: α
t
= 1,2 e-5 K
-1
.
Da das Zwei-Stab-Modell rein einachsiger Beanspruchung ausgesetzt ist, wird der Quer-
dehnungszahl µ keine Bedeutung beigemessen.
Die für die Berechnung des Zwei-Stab-System zur Anwendung kommenden Werkstoff-
modelle lassen sich wie folgt bezeichnen:
• bilineares Werkstoffmodell mit linear kinematischer Verfestigung
(kurz: bilineares Werkstoffmodell)
• trilineares Werkstoffmodell mit bilinear kinematischer Verfestigung
(kurz: trilineares Werkstoffmodell).
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
16
3.4. Belastungsannahmen für das Zwei-Stab-System
Der bisher am Zwei-Stab-System dargestellte Ratcheting-Belastungsfall, untersucht in
den FE-Analysen von Glede [1], beruht auf einer konstanten Primärspannung (re-
sultierend aus der am starren Körper angesetzten Kraft) und einer zyklischen Sekundär-
spannung (infolge einer im Stab 1 erzeugten Temperatur). Diese beiden Spannungen
wirken gleichzeitig. Ihr zeitliches Auftreten kann in Belastungshistogrammen gleicher
Zeitachsen übereinander dargestellt werden. Abbildung 10 zeigt hierzu einen praxis-
nahen Belastungsfall, der im Zusammenwirken mit den Materialeigenschaften und den
vorliegenden Strukturbedingungen Ratcheting erzeugen kann:
Nochmals, wie schon im Abschnitt 3.2. vorgemerkt, werden Vereinfachungen für die
Klärung des Phänomens Struktur-Ratcheting nötig. Die Idealisierung des in Abbildung
10 dargestellten Belastungsfalls führt zum allgemeinen Ratcheting-Präzedenzfall (siehe
Abbildung 11). Hierbei wird die fiktiv elastisch berechnete Primärspannung σ
0
vom Be-
lastungsanfang bis zum Belastungsende konstant angesetzt. Die Sekundärspannung σ
t
,
gleichfalls fiktiv elastisch berechnet, wird im gleichen Zeitgeschehen durch periodisch
ablaufende Spannungszustände in exakt definierten Zyklen bestimmt.
σ
σσ
σ
monotone Primärspannung
t
zyklische Sekundärspannung
σ
σσ
σ
t
Zeitsprung
Abbildung 10: praxisnaher Belastungsfall in Histogrammdarstellung
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
17
Diese regelmäßig wiederkehrende Belastung nennt man zyklische Belastung. Dieser
Präzedenz-Belastungsfall wird als Fall A bezeichnet. In den nachstehenden FE-Analy-
sen wird der Fall A variiert, indem zusätzlich im Stab 1 eine Vordehnung eingebracht
wird. Erweiternd wird der Fall A unter Ansatz des trilinearen Werkstoffverhaltens
untersucht. Gledes Analysen [1] beschränkten sich auf den Ansatz des bilinearen Mate-
rialverhaltens und werden hier als Fall A
b
bezeichnet. Im Fall B werden die Belastungs-
eigenschaften ausgetauscht, indem die Primärspannung zyklisch und die Sekundär-
spannung konstant angenommen wird. Unter dem Fall C werden nur zyklische Belas-
tungen bei bestimmten Phasenverschiebungen untersucht. Der Fall B und C beschränkt
sich nur auf den Ansatz des bilinearen Materialverhaltens. Die gesamt untersuchten Be-
lastungsfälle wären wie folgt zu benennen:
• Fall A: konstante Primärspannung - zyklische Sekundärspannung
• Fall A
b
: bilineares Werkstoffverhalten [1] (Abb.12)
• Fall A
b,Vord.
: bil. Werkstoffverhalten und Vordehnung (Abb. 13)
• Fall A
t
: trilineares Werkstoffverhalten (Abb. 12)
σ
σσ
σ
konstante Primärspannung
t
zyklische Sekundärspannung
t t
σ
σσ
σ
σ
0
σ
t
Zeitsprung
Ein Zyklus
Abbildung 11: Ratcheting-Präzedenzbelastungsfall
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
18
• Fall B: zyklische Primärspannung - konstante Sekundärspannung
(bilineares Werkstoffverhalten, Abb. 14)
• Fall C: zyklische Primärspannung - zyklische Sekundärspannung
(bilineares Werkstoffverhalten)
• Fall C
1
: Primär- und Sekundärspannung sind phasengleich (Abb. 15)
• Fall C
2
: Sekundärspannung um ¼ Phase verschoben (Abb. 16)
• Fall C
3
: Sekundärspannung um ½ Phase verschoben (Abb. 17)
• Fall C
4
: Primär- und Sekundärspannung alternieren (Abb. 18)
σ
σσ
σ
konstante Primärspannung
t
zyklische Sekundärspannung
σ
σσ
σ
σ
0
σ
t
Zeitsprung
t
Abbildung 12: Fall A
b
und A
t
: konstante Primärspannung - zyklische Sekundärspannung
σ
σσ
σ
konstante Primärspannung
t
zyklische Sekundärspannung
t
σ
σσ
σ
σ
0
σ
t
Zeitsprung
t
Spannung aus Vordehnung
σ
ε
Abbildung 13: Fall A
b,Vord.
: konst. Primärspannung - zykl. Sekundärspannung mit Vordehnung
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
19
σ
σσ
σ
zyklische Primärspannung
t
konstante Sekundärspannung
σ
σσ
σ
σ
0
σ
t
Zeitsprung
t
Abbildung 14: Fall B: zyklische Primärspannung - konstante Sekundärspannung
σ
σσ
σ
zyklische Primärspannung
t
zyklische Sekundärspannung
σ
σσ
σ
σ
0
σ
t
Zeitsprung
t
Abbildung 15: Fall C
1
: zyklische Primär- und Sekundärspannung, phasengleich
σ
σσ
σ
zyklische Primärspannung
t
zyklische Sekundärspannung
σ
σσ
σ
σ
0
σ
t
Zeitsprung
t
Abbildung 16: Fall C
2
: zyklische Primär- und Sekundärspannung, ¼ Phase verschoben
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
20
3.5. Parametrisierung
Um das Verhalten des Zwei-Stab-Systems bei verschiedenem Materialverhalten und
Beanspruchungszuständen zu studieren, ist es notwendig, die das Strukturverhalten be-
einflussenden Größen konstant festzulegen oder in einem gewissen Zusammenhang
variabel festzuhalten. Damit kann eine Einflussbegrenzung auf nur wenige Parameter
erzielt werden. Diese werden systematisch kombiniert und führen zu auswertbaren Er-
gebnissen.
σ
σσ
σ
zyklische Primärspannung
t
zyklische Sekundärspannung
σ
σσ
σ
σ
0
σ
t
Zeitsprung
t
Abbildung 17: Fall C
3
: zyklische Primär- und Sekundärspannung, ½ Phase verschoben
σ
σσ
σ
zyklische Primärspannung
t
zyklische Sekundärspannung
σ
σσ
σ
σ
0
σ
t
Zeitsprung
t
Abbildung 18: Fall C
4
: zyklische Primär- und Sekundärspannung, alternierend
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
21
Die beeinflussenden Größen, aus den beiden Materialien und Beanspruchungen lauten:
E
Elastizitätsmodul
E
ti
Verfestigungsmoduln
σ
yi
Streckgrenzen (Fließgrenzen)
σ
0
Primärspannung
σ
t
Sekundärspannung.
Für das bilineare Materialverhalten können folgende Parameter festgelegt werden:
• Materialkonstanten:
[
]
[
]
E N mm N mm
y
= ⋅ =2 10 200
5 2 2
/ , /
σ
σ
ε
y
y
E
1
0 001= = , .
• Materialvariablen:
(
)
E
E
t1
0 1 0= ... , für unterschiedliche Verfestigungsverhalten.
• Beanspruchungsvariablen:
(
)
σ
σ
0
1
0 1 0
y
= ... , für unterschiedliche Primärspannungen
(
)
σ
σ
t
y1
0 12= ... für unterschiedliche Sekundärspannungen.
Für das trilineare Materialverhalten werden folgende Parameter festgelegt:
• Materialkonstanten:
[
]
[
]
E N mm N mm
y
= ⋅ =2 10 200
5 2
1
2
/ , /
σ
σ
ε
y
y
E
1
0
001
= = , .
E E
t t2 1
1
2
= Vereinfachungskonstante 2. Verfestigungsbereich.
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
22
• Materialvariablen:
(
)
σ
σ
y
y
2
1
1 2 4= ... , Größenfaktor der 2. Fließgrenze zur 1. Fließgrenze
(
)
E
E
t1
0 1 0= ... , für untersch. Verhalten im 1. Verfestigungsbereich
• Beanspruchungsvariablen:
(
)
σ
σ
0
1
0 1 0
y
= ... , für unterschiedliche Primärspannungen
(
)
σ
σ
t
y1
0 12= ... für unterschiedliche Sekundärspannungen.
Bemerkungen zu den Beanspruchungsparametern:
Die am Zwei-Stab-System aufgebrachte Primärspannung ist als spannungs-
gesteuert zu betrachten. Sie besitzt im Verfestigungsbereich wenig Spannungs-
reserven gegenüber dem Versagen des Materials. Daher lassen die ingenieur-
technischen Regelwerke hier ein Überschreiten der elastischen Grenzspannung
nicht zu.
Die Sekundärspannung als dehnungsgesteuerte Beanspruchung (z.B. Tempe-
ratur) besitzt im Verfestigungsbereich ein hohes Potential an Dehnungsreserven
gegenüber dem Versagen des Materials. Sie sind jedoch durch die Regelwerke
auf maximal 5% örtlicher Dehnung begrenzt.
Die Ergebnisse der Berechnungen können über die Beanspruchungsparameter in Form
von Ratcheting-Interaktionsdiagrammen dargestellt werden. Die Aussagen der Inter-
aktionsdiagramme sind geometriegebunden und beziehen sich somit hier rein auf das
Zwei-Stab-System. Schlussfolgerungen auf komplexere Strukturen sind nicht ohne
weitere Untersuchungen möglich.
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
23
3.6. Graphische Ermittlung zu Ratcheting für den Präzedenzfall A
b
Der Beanspruchungsfall A
b
berücksichtigt
,
wie schon in Abschnitt 3.4. erwähnt, eine
konstante Primärspannung und eine zyklische Sekundärspannung bei bilinearen Werk-
stoffverhalten. Für eine graphische Ermittlung der Spannungs-Dehnungs-Hysteresen
beider Fachwerkstäbe ist es notwendig, die strukturellen Verträglichkeitsbedingungen
und das innere sowie äußere Gleichgewicht am Zwei-Stab-System graphisch einzuhal-
ten (siehe Abbildung 21). Die Möglichkeit einer graphischen Entwicklung wird durch
das Übereinanderschieben der Spannungs- und Dehnungsachse beider Stäbe erleichtert
(siehe Abbildung 19).
Für die graphische Lösung kann also Folgendes festgehalten werden:
• Materialgesetz: Alle Spannungs- und Dehnungszustände bewegen sich auf
den das Materialgesetz kennzeichnenden Linien (siehe
Abschnitt 3.3.).
• Verträglichkeit: Beide Stäbe erfahren die gleiche Dehnung
(siehe Abschnitt 3.2.; Knotenkopplung)
ε
ε
Stab
Stab
1
2
=
Die Dehnungsbeträge der Stäbe müssen vertikal
übereinander stehen.
• Gleichgewicht:
äußeres Gleichgewicht (nur über Primärspannung):
Auf Grund gleicher Stabquerschnitte A und der Verträglich-
keitsbedingung kann definiert werden:
σ
σσ
σ
1
ε
εε
ε
1
ε
εε
ε
2
σ
σσ
σ
i
σ
y1
ε
εε
ε
i
σ
σσ
σ
2
σ
y1
σ
y1
i = 1, 2
Abbildung19: Darstellungsvereinfachung der Materialgesetze
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
24
σ σ
0 0 2
2
, ,Stab1 Stab
F
A
= = .
inneres Gleichgewicht (nur über Sekundärspannung):
gleiche Gründe liefern hier:
σ σ σ σ
t Stab1 t Stab t Stab1 t Stab, , , ,
;+ = =
2 2
0 .
Aus Kombination beider Gleichgewichte kann geschrieben werden:
σ
σ
σ
Stab1 Stab1 t Stab1
=
+
0, ,
σ
σ
σ
Stab Stab t Stab2 0 2 2
=
+
, ,
.
Für die graphische Lösung bedeutet dies:
Die Sekundärspannungsbeträge bewegen sich in entgegen-
gesetzte Spannungsrichtungen um die Primärspannungen.
Beim Darstellen der aus der Temperatur resultierenden Sekundärspannung ist darauf zu
achten, dass beim Auftragen der thermischen Dehnung der Werkstoff zunächst zwäng-
ungsfrei ist und danach die strukturellen Verträglichkeitsbedingungen wiederhergestellt
werden (siehe Abbildung 20).
σ
σσ
σ
ε
εε
ε
−σ
y
−σ
−σ−σ
−σ
1
und 3
2
1
2
3
Temperatur t
s
ε
th
= α
t
•t
s
Zeitpunkte:
1 Ausgangszustand ohne Temperatur
2 Temperatur aufgetragen und kinematische
Randbedingung (Verträglichkeit) gelöst
3 kin. Randbedingung wiederhergestellt
Abbildung 20: Beispiel für die graphische Darstellung der Spannungsentwicklung bei dehnungs-
gesteuerten Belastungen
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
25
Hiermit sind alle Kriterien für die graphische Lösung geklärt. Abbildung 21 zeigt einen
Ansatz für den Gebrauch dieser Bedingungen.
Um das Phänomen Ratcheting anhand einer graphischen Lösung zu erklären, werden
beispielhaft folgende Parameter gesetzt:
E
E
und
t
y
t
y
1 0
1 1
0 1 0 8 1 0= = =, , , ,
σ
σ
σ
σ
Damit ergibt sich für:
• den Verfestigungsmodul E
t1
= 20000 [N/mm²]
• die Primärspannung σ
0
= 160 [N/mm²]
• und die th. Dehnung aus der Sekundärspannung ε
th
= 0,2 %
Abbildung 22 zeigt eine vollständige Hysteresenentwicklung unter den oben festge-
setzten Parametervariablen und dem anliegenden Belastungsfall A
b
. Es ist zu erkennen,
dass die Stäbe 1 und 2 von Zyklus zu Zyklus fortwährend immer kleiner werdende plas-
tische Zugdehnungszuwächse erfahren (akkumulierte plastische Dehnungen). Die stän-
dig verschobenen Spannungs-Dehnungs-Hysteresen beider Stäbe bewegen sich sozusa-
gen in Richtung einer Endhysterese.
ε
εε
ε
i
σ
σσ
σ
i
σ
y1
thermische Dehnung
Stab 1 (Zeit: ½)
Stab 2 (Zeit: ½)
Stab 1
Stab 2
σ
0, Stab1 u. 2
σ
t, Stab2
σ
t, Stab1
inneres
Gleichgewicht
Verträglichkeit
Werkstoffgesetz
Werkstoffgesetz
Stab 1, 2 (Zeit: 0)
äußeres
Gleichgewicht
i = 1, 2
Abbildung 21: Ansatz der Bedingungen für die graphische Lösung
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
26
Das Materialverhalten in dieser Endhysterese ist nur noch rein elastischer Art. Man
nennt diesen Vorgang auch „elastisches Einspielen“. Bei anderen Beanspruchungspara-
metern ist auch ein „plastisches Einspielen“, oder auch rein elastisches Verhalten mög-
lich. Das plastische Einspielen zeichnet sich durch elastisch-plastisches Verhalten in der
Endhysterese aus. Bei rein elastischem Verhalten widerfahren den Stäben zu kei-nem
Zeitpunkt plastische Dehnungen. Mit den bisher gewonnenen Ergebnissen kann das
Phänomen Ratcheting im Allgemeinen wie folgt erklärt werden:
Es ist ein Vorgang, der unter nicht linearem Materialverhalten durch
zyklische Beanspruchungen zu örtlichen plastischen Dehnungszuwächsen in
Strukturen führt.
Unter der Berücksichtigung des Sonderfalls des linear elastisch-ideal plastischen Werk-
stoffverhaltens muß unterschieden werden in [1]:
• infinites Ratcheting bei E
t
= 0:
Die Beträge der plastischen Dehnungszuwächse sind über die Zyklen
gleich groß. Die Dehnungen würden nach unendlich vielen Zyklen
theoretisch unendlich hoch sein. Der Ansatz des linear elastisch-ideal
plastischen Werkstoffverhaltens lässt daher nur eine begrenzte Anzahl
ε
εε
ε
i
[
[[
[%]
]]
]
σ
σσ
σ
i
[
[[
[N/mm²]
]]
]
0,1
0,5
0,4
0,3
0,2
200
160
ε
εε
ε
th
= 0,2 %
Stab 1 (Zeit: 1)
Stab 1 (Zeit: 1 ½)
Stab 1 (Zeit: ½)
Stab 2 (Zeit: 2)
Stab 2 (Zeit: 1)
Stab 1 (Zeit: 2)
Stab 2 (Zeit: 1 ½)
Stab 2 (Zeit: ½)
Stab 1 (Zeit: n ½)
Stab 2 (Zeit: n)
Stab 2 (Zeit: n ½)
Stab 1 (Zeit: n)
Stab 1
Stab 2
Stab 1, 2 (Zeit: 0)
n = Zyklenzahl
ε
εε
ε
el.
-
pl.
= 0,35%
Abbildung 22: Hysteresenentwicklung bis zum elastischen Einspielen
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
27
von Beanspruchungszyklen zu, da sonst die Duktilitätsgrenze des
Materials überschritten wird.
• finites Ratcheting bei 0 < E
t
< E:
Die Beträge der plastischen Dehnungszuwächse werden immer kleiner.
Die Anzahl der Zyklen bis zum Einspielen kann entweder unendlich mit
unendlich kleinen Dehnungszuwächsen oder endlich sein. Sie wird wei-
terhin beeinflußt durch den Wert der Verfestigungsmoduln. Im
Allgemeinen gilt: Je kleiner der Wert der Verfestigungsmoduln, desto
höher die zum Einspielen erforderliche Zyklenzahl.
3.7. Nummerische Lösungsansätze über die Finite-Element-Methode
und FEM-Programm ANSYS
3.7.1. Was ist die Finite-Element-Methode?
Eine vollständige Erklärung kann hier auf Grund des Umfangs der Methode nicht
gegeben werden. Dennoch soll in diesem Abschnitt ein kurzer Umriss für die Grundidee
und deren Ansatz dargelegt werden.
Die Finite-Element-Methode beruft sich auf eines der bedeutendsten Ereignisse in der
Wissenschaft des 20. Jahrhunderts, der Entdeckung der „Mathematik der Komplexität“
[8]. Eine entscheidende Rolle bei der neuen Beherrschung der Komplexität spielt die
Entwicklung leistungsfähiger Computer. Mit ihrer Hilfe sind die Mathematiker bereits
in der Lage, komplexe Gleichungen zu lösen, die sich bislang einer Lösung entzogen
haben, und die Lösungen als Kurven in einem Diagramm zu zeichnen. Auf diese Weise
kann man neue qualitative Verhaltensmuster komplexer Systeme entdecken, eine neue
Ebene der Ordnung, die dem scheinbaren Chaos zu Grunde liegt.
Die Grundlage für die Finite-Element-Methode gaben unabhängig voneinander die
beiden Mathematiker und Naturphilosophen Newton und Leibnitz durch ihre erfundene
Infinitesimalrechnung und des damit verbundenen Differentials. Gleichungen mit Diffe-
rentialen nennt man Differentialgleichungen, die bei der rechnerischen Simulation der
Finite-Element-Methode zur Anwendung kommen. Sie beschreiben an einem diffe-
rentiell kleinen Teil das Verhalten einer Struktur. Die Ansatzfunktion, für die die
Differentialgleichung aufgestellt wird, ist in unserem Fall eines Festigkeitsproblems
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
28
charakteristisch für die Verschiebungen in zuvor mathematisch abgegrenzten Bereichen
(Diskretisierung) einer Struktur. Primäres Ziel der Finite-Element-Methode ist nun, die
strukturumfassende Verschiebungsfunktionen mit noch unbekannten Verschiebungsko-
effizienten vorzuwählen und diese Koeffizienten näherungsweise zu bestimmen (siehe
Abbildung 23 [9]). Dies geschieht mit Hilfe eines nummerischen bzw. exakten
Lösungsverfahrens. Exakt bedeutet hier: Im Sinne der aufgestellten Theorie, die die
Wirklichkeit annähernd interpretiert. Dieses Lösungsverfahren überführt das Diffe-
rentialgleichungsproblem direkt in ein algebraisches Gleichungssystem mit den oben er-
wähnten unbekannten Koeffizienten. Dies geschieht nach dem Prinzip vom Minimum
der potentiellen Energie. Nach dem Auflösen des Gleichungssystems und dem Bestim-
men der Koeffizienten werden die gesuchten Verschiebungen an den Stützstellen der
diskretisierten Struktur exakt festgelegt. Durch Ableitung dieser Verschiebungsfunk-
tion nach den Koordinaten können für jede Stelle in der Struktur die Dehnungen und
Spannungen berechnet werden [9].
exakte Verschiebungsfunktion
Diskretisierung,
Aufteilung
in Elemente
Unbekannte Stützwerte an den Knoten
bereichsweise
Ansatzfunktion
Abbildung 23: Annäherung der Verschiebungsfunktion durch bereichsweise Ansatzfunktionen
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
29
3.7.2. Das FEM-Programm ANSYS
Das Computerprogramm ANSYS ist ein kommerziell angebotenes FEM-Allzweckpro-
gramm. Es ist gefächert in spezielle Anwendungsfelder, wie der klassischen Strukturan-
alysen sowie der Gebiete der Temperaturanalysen, der Magnetostatik und der elekt-
rischen Feldberechnungen. Das Programm ANSYS erfüllt die strengen Forderungen des
Kraftwerkbaus und wurde als erstes FEM-Programm nach ISO 9001 zertifiziert [10].
Die Nutzung dieses Programms für das bisher dargestellte Thema beschränkt sich auf
das Gebiet der nichtlinearen Strukturanalysen. Auf die Handhabung [11] des Pro-
gramms ANSYS soll jedoch nicht näher eingegangen werden. Die Ergebnisse aus den
ANSYS-Berechnungen werden in Diagrammform dargestellt und bieten eine günstige
Auswertung hinsichtlich des Strukturverhaltens des Zwei-Stab-Systems. Aus Über-
sichtsgründen werden in den nachstehenden FE-Analysen nur die aussagekräftigsten
Diagrammdarstellungen präsentiert.
Ein Halte-Problem, welches hier diskutiert werden muss, ergibt sich aus Abschnitt 3.6.
(graphische Ermittlung). Dort heißt es für finites Ratcheting: Die Anzahl der Zyklen
kann entweder unendlich mit unendlich kleinen Dehnungzuwächsen oder endlich sein.
Ein Computer einschließlich Software kann grundsätzlich das Problem, ob eine Maschi-
ne wie er selbst nach einem bestimmten Input anhält und ein Ergebnis erreicht oder in
einer unendlichen Schleife weiterarbeitet, nicht lösen [12]. Daher muss hier ein
Abbruchkriterium geschaffen werden. Dieses Abbruchkriterium mit der Variable
ABRKRIT kommt mit Hilfe der ANSYS-Parametersprache innerhalb einer zyklischen
Beanspruchungsschleife wie folgt zum Einsatz:
*IF,ABS(UY1-UY1ALT)/H,LT,ABRKRIT,EXIT. (ABRKRIT=9e-8)
Das bedeutet: Ist der aktuelle Dehnungszuwachs des Stabes 1 (ABS(UY1-UY1ALT)/H)
kleiner (LT) als das Abbruchkriterium (ABRKRIT), dann beende die zyklische Bean-
spruchungsschleife (EXIT). Der Ratchetingvorgang wird bei einem Dehnungszuwachs
pro Zyklus von kleiner als 9e-6 % gestoppt. Um so kleiner dieser Wert ist, um so ge-
nauer sind die aus den Verschiebungen berechneten Ergebnisse.
Um die Eingabezeiten für die Beanspruchungsparameter zu reduzieren, wurde die
Variation dieser Parameter vollständig automatisiert. Dies konnte realisiert werden
durch die Einführung einer äußeren Primärspannungsschleife und einer intern ablau-
fenden Sekundärspannungsschleife, in der die eigentliche Ratcheting-Beanspruchungs-
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
30
schleife eingebettet ist. Im Anhang dieser Arbeit ist ein vollständiges ANSYS-Eingabe-
protokoll dargestellt, welches den Präzedenzfall „konstante Primärspannung-zyklische
Sekundärspannung“ mit einem festgesetzten Verfestigungsparameter in systematischer
Kombination der Beanspruchungsparameter beinhaltet. Dieses Eingabeprotokoll stellt
die Grundlage für die weiteren Belastungsfälle dar. Die dort eingeführten Verände-
rungen beziehen sich größtenteils auf die Berechnungsschleife der zyklischen Belas-
tung.
3.8. Auswertungsstrategien für die nummerische Lösung
Um das Strukturverhalten des Zwei-Stab-Systems unter verschiedenen Beanspruchungs-
fällen zu studieren, ist es notwendig, einfache Auswertungsstrategien zu entwickeln.
Eine bewährte Methode stellt die Abfrage der zur elastischen Dehngrenze ε
y
normierten
elastisch-plastischen Dehnung ε
el.-pl.
des Stabes 2 oder der Zyklenzahl nach dem
Einspielen und Vollendung eines Zyklus dar [1]. Das Maß der normierten elastisch-
plastischen Dehnung ε
el.-pl.
/ε
y
hängt von den Beanspruchungsparametern und den
Verfestigungsparametern ab. Wenn die Verfestigungsparameter konstant gesetzt wer-
den, kann die elastisch-plastische Dehnung als Fläche in einem dreidimensionalen
Diagramm in Abhängigkeit der Beanspruchungsparameter dargestellt werden. Wie sich
später herausstellen wird, lassen sich je nach Beanspruchungskombination und Verfes-
tigungseigenschaften unterschiedliche Arten des Strukturverhaltens des Zwei-Stab-Sys-
tems identifizieren. Die Projektion der so abgegrenzten Strukturverhalten auf die
Grundfläche des dreidimensionalen Diagramms ergibt das gesuchte Ratcheting-Inter-
aktionsdiagramm. Abbildung 24 zeigt diese Darstellungsvarianten, in der die normierte
elastisch-plastische Dehnung, die in Abschnitt 3.6. graphisch ermittelt wurde, einge-
tragen ist. Die Abfrage nach der Dehnung des Stabes 2 bietet sich im Zwei-Stab-System
an, weil hier im Gegensatz zu Stab 1 unabhängig von den Zyklen keine thermischen
Dehnungen auftreten.
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
31
Um die bereits schon erwähnten Verhaltensbereiche der Struktur zu erfassen, bedarf es
umfassender Parameterstudien. Dies ist mit einem hohen rechnerischen Aufwand ver-
bunden und kann mit dem in Abschnitt 3.7.2. vorgestellten FEM-Computerprogramm
gelöst werden.
3.9. Lastfallstudien nach der Finite-Element-Methode
Für die in Abschnitt 3.4. vorgestellten Belastungsfälle werden hier die folgenden Er-
gebnisse der Ratchetingberechnungen am Zwei-Stab-System vorgestellt:
• Ratcheting-Interaktionsdiagramme
• maximale normierte elastisch-plastische Dehnungen im eingespielten Zu-
stand in Abhängigkeit der Parameter
• Anzahl der Zyklen bei Erreichen des Einspielzustandes
• Normierung der Ergebnisse der Lastfälle zu den Ergebnissen des Präzedenz-
falls
ε
ε
Stab
el pl
y
2
. .
−
σ
σ
t
y
ε
ε
Stab
el pl
y
2
. .
−
σ
σ
t
y
σ
σ
t
y
σ
σ
0
y
σ
σ
0
y
3,5
3,5
1,0
1,0 0,8
0,8
Bereich eines
bestimmten
Strukturverhaltens
1,0
Projektion
Abbildung 24: Darstellung der elastisch-plastischen Dehnung des Stabes 2 und des Strukturver-
haltensbereichs über den Belastungsparameter der Sekundärspannung und in
den Interaktionsdiagrammen der Belastungen.
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
32
3.9.1. Fall A: konstante Primärspannung - zyklische Sekundärspannung
Wie schon in Abschnitt 3.4. vorgestellt, handelt es sich hier um den Ratcheting-
Präzedenzfall. Der bisher untersuchte Fall A
b
berücksichtigte jedoch nur den Ansatz
eines bilinearen Werkstoffmodells [1]. In den hier vorliegenden FE-Analysen soll dieser
Lastfall erweitert werden. In der ersten Erweiterung soll der Ansatz einer Vordehnung
im Stab 1 und der Ansatz des bilinearen Werkstoffmodells unter dem Fall A
b,Vord.
be-
trachtet werden. Die zweite Erweiterung, der Fall A
t,
enthält eine Untersuchung, in der
das trilineare Werkstoffmodell jedoch ohne Vordehnung angesetzt wurde. Im Anfang
wird der Fall A
b
aufgeführt und soll als Ausgang und zum Vergleich der Ergebnisse zu
den anderen Fällen stehen.
3.9.1.1. Fall A
b
: bilineares Werkstoffverhalten
Abbildung 25 zeigt nochmals den Präzedenzbelastungsfall
Abbildung 26 zeigt die erreichten el.-pl. Dehnungen des Stabes 2 nach dem Einspielen
des Systems. In Abbildung 27 sind die dafür benötigten Zyklen für das in Abschnitt
0
1
4
1
2
3
4
1
1
1
4
1
1
2
1
3
4
2
2
1
4
2
1
2
2
3
4
3
n
n
1
4
n
1
2
n
3
4
n +
++
+ 1
0
1
4
1
2
3
4
1
1
1
4
1
1
2
1
3
4
2
2
1
4
2
1
2
2
3
4
3
n
n
1
4
n
1
2
n
3
4
n +
++
+ 1
σ
σσ
σ
konstante Primärspannung
t
zyklische Sekundärspannung
tt
σ
σσ
σ
σ
0
σ
t
Zeitsprung
n = Zyklenzahl
Ein Zyklus
Abbildung 25: Beanspruchung für Fall A
b
und Fall A
t
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
33
3.7.2. erwähnte Abbruchkriterium dargestellt. Variiert wurde über die Belastungs-
parameter, wobei der Verfestigungsparameter konstant blieb.
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
11,0
12,0
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
Abbildung 26: el.-pl. Dehnungen des Stabes 2 über dem Interaktionsdiagramm im Fall A
b
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
11,0
12,0
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
Abbildung 27: benötigte Zyklen zum Erreichen der Dehnungen der Abbildung 26
ε
ε
Stab
el pl
y
2
. .−
σ
σ
t
y1
σ
σ
0
1y
S
3
S
2
E
S
1
P
E
E
t1
0 1= ,
n
S
3
S
2
σ
σ
0
1y
E
S
1
P
E
E
t1
0 1= ,
σ
σ
t
y1
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
34
Aus dem in Abbildung 26 dargestellten Dehnungsverhalten lässt sich das Ratcheting-
Interaktionsdiagramm ableiten (Abbildung 28). Weiterhin ist bekannt, dass der Ver-
festigungsmodul Einfluss auf die Bereiche des elastischen Einspielens hat [1]. Die
Zyklenzahlen der Abbildung 27 geben Aufschluss über die eigentlichen Ratcheting-
Bereiche S
3
und P. Sie stellen die einzigen Bereiche, in denen nach Abschluss des ersten
Beanspruchungszyklus immer noch plastische Dehnungszuwächse auftreten.
Das Strukturverhalten in den Bereichen kann wie folgt charakterisiert werden:
elastisches Einspielen:
• Bereich S
1
: Stab 1 erhält im 1. Halbzyklus einmalig plastische
Druckdehnung und verhält sich danach nur noch elas-
tisch.
Stab 2 erhält im 1. Halbzyklus einmalig plastische Zug-
dehnung und verhält sich danach nur noch elastisch.
Nach dem 1. Halbzyklus treten für beide Stäbe keine
Dehnungszuwächse mehr auf.
σ
σ
t
y1
σ
σ
0
1y
1,0
E
E
t1
S
2
S
3
S
E
P
S
1
1,0
2,0
E
S
P
rein elastischer Bereich
elastisches Einspielen
plastisches Einspielen
VP
VP
verschieblicher Punkt:
• verschiebt sich auf der Grenze
zwischen S und P
• wird durch E
t1
/E beeinflusst
und verändert S
i
-Bereiche
Abbildung 28: Ratcheting-Interaktionsdiagramm für Fall A
b
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
35
• Bereich S
2
: Stab 1 bleibt immer elastisch.
Stab 2 erhält im 1. Halbzyklus einmalig plastische Zug-
dehnung.
Nach dem 1. Halbzyklus verhält sich die Gesamtstruktur
elastisch und bringt keine Dehnungszuwächse hervor.
• Bereich S
3
: Stab 1 erhält in jedem geraden Halbzyklus und Stab 2 in
jedem ungeraden Halbzyklus plastische Zugdehnung.
Eine erneute plastische Dehnung bringt zur vorherge-
henden plastischen Dehnung eines Stabes einen soge-
nannten Dehnungszuwachs mit sich. Dieser wird von
mal zu mal kleiner und geht nach unendlich vielen
Zyklen gegen Null. Nach dem Einspielen bleibt nur noch
elastisches Verhalten übrig (siehe graphische Lösung
Abbildung 22).
Der Bereich S
3
stellt somit den Bereich finites Ratche-
ting mit der Eigenschaft des „elastischen Einspielens“.
plastisches Einspielen:
Stab 1 erhält in jedem geraden Halbzyklus plastische Zugdehnung. In
den ungeraden Halbzyklen herrscht anfänglich elastisches Verhalten.
Stab 2 erhält in jedem ungeraden Halbzyklus plastische Zugdehnung. In
den geraden Halbzyklen zeigt sich anfänglich elastisches Verhalten.
Die dabei auftretenden immer kleiner werdenden Dehnungszuwächse
pro Zyklus führen das übrig gebliebene elastische Materialverhalten der
beiden Stäbe über ihre elastische Grenze (Streckgrenze). Ist dies erreicht,
erhalten beide Stäbe nur noch plastische Dehnungen abwechselnd im
Zug- und im Druckbereich, wobei keine Dehnungszuwächse mehr
auftreten. Es gibt also endliche viele immer kleiner werdende Deh-
nungzuwächse.
Der Bereich P ist damit der Bereich des finiten Ratcheting mit der
Eigenschaft des „plastischen Einspielens“.
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
36
3.9.1.2. Fall A
b,Vord.
: bilineares Werkstoffverhalten mit Vordehnung
Dieser Lastfall umfasst den bisher bekannten Fall A
b
zuzüglich einer im Stab 1 ange-
setzten Vordehnung ε
0,Stab1
. Ähnlich wie bei der Sekundärspannung baut sich infolge der
Vordehnung in der Struktur des Zwei-Stab-Systems ein inneres Gleichgewicht auf.
Diese Gleichgewichtsbedingung ist wie folgt definiert:
σ σ σ σ
ε ε ε ε
0 0 0 0
2 2
0
, , , ,
;
Stab1 Stab Stab1 Stab
+ = =
Die Vordehnung erzeugt in den beiden Stäben entgegen gerichtete Spannungen. Zur
Übersichtlichkeit kann sie daher auch als Spannung im Belastungshistogramm des
Falles A
b
dargestellt werden (siehe Abbildung 29).
Für den weiteren Umgang in diesem Lastfall wird die Vordehnung als hinzukommender
Belastungsparameter betrachtet. Sie kann aus Gründen der vereinfachten Behandlung
zur elastischen Dehngrenze normiert werden und bewege sich innerhalb der folgenden
Grenzen:
0
1
4
1
2
3
4
1
1
1
4
1
1
2
1
3
4
2
2
1
4
2
1
2
2
3
4
3
n
n
1
4
n
1
2
n
3
4
n +
++
+ 1
0
1
4
1
2
3
4
1
1
1
4
1
1
2
1
3
4
2
2
1
4
2
1
2
2
3
4
3
n
n
1
4
n
1
2
n
3
4
n +
++
+ 1
σ
σσ
σ
konstante Primärspannung
t
zyklische Sekundärspannung
tt
σ
σσ
σ
σ
0
σ
t
Zeitsprung
n = Zyklenzahl
Ein Zyklus
σ
ε
0
Spannung aus Vordehnung
Abbildung 29: Belastungshistogramm für Fall A
b, Vord.
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
37
(
)
ε
ε
0
0 1 4
,
... ,
Stab1
y
= .
Abbildung 30 zeigt die Entwicklung der aus nummerischen Analysen mit ANSYS ge-
wonnenen Interaktionsdiagramme der Belastungen bei steigender Vordehnung.
In dieser Entwicklung der Interaktionsdiagramme ist zu erkennen, dass die Grenze zwi-
schen dem elastischen Einspielen und dem plastischen Einspielen durch die Vordeh-
nung nicht beeinflusst wird. Mit weiterer Steigerung der Vordehnung werden in Reihen-
folge die Bereiche E, S
3
und S
2
aus dem Interaktionsdiagramm der Belastungen
verdrängt. Für die Entwicklung des Interaktionsdiagrammes einer beliebigen Vordeh-
nung im Stab 1 kann die nachstehende Konstruktionsanleitung nützlich sein:
σ
σ
t
y1
2,0
1,0
1,0
σ
σ
0
1y
0
0
σ
σ
t
y1
2,0
1,0
1,0
σ
σ
0
1y
0
0
σ
σ
t
y1
2,0
1,0
1,0
σ
σ
0
1y
0
0
σ
σ
t
y1
2,0
1,0
1,0
σ
σ
0
1y
0
0
σ
σ
t
y1
2,0
1,0
1,0
σ
σ
0
1y
0
0
ε
ε
0
1 4
y
= ,
ε
ε
0
0
y
=
ε
ε
0
0 2
y
= ,
ε
ε
0
0 6
y
= ,
ε
ε
0
1 0
y
= ,
P PPPP
S SSSS
E
E
E
S
3
S
3
S
3
S
3
S
3
S
2
S
2
S
2
S
2
S
2
S
1
S
1
S
1
S
1
S
1
VP VPVPVPVP
E
E
t
y
1 0
1+
ε
ε
VP
verschieblicher Punkt:
• verschiebt sich auf der
Grenze zwischen S und P
•
wird durch E
t1
/E und
ε
0
/
ε
y
beeinflusst
•
verändert die
S
i
-Bereiche
P
S
E
rein elastischer Bereich
plastisches Einspielen
elastisches Einspielen
Abbildung 30: Entwicklung der Interaktionsdiagramme bei steigender Vordehnung
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
38
• Zeichnen des Interaktionsdiagrammes des Falles A
b
mit S
i
-Bereichen, die
über den Parameter E
t
/E konstruiert werden können.
• Berechnung des Verschiebungswertes a, der über die Wahl einer beliebigen
Vordehnung wie folgt berechnet werden kann: a
y
y
=
+
ε
ε
ε ε
0
0
1
• Verschieben der Grenz-Primärspannung um den Betrag von a entgegen der
positiven Primärspannungsrichtung im Maßstab des Ausgangs-Interaktions-
diagrammes.
• Verschieben der Primärspannungsachse um den doppelten Betrag von a in
Richtung der positiven Sekundärspannung ebenfalls im Maßstab des Aus-
gangs-Interaktionsdiagrammes.
• Die Struktur-Verhaltensbereiche des Ausgangs-Interaktionsdiagrammes gel-
ten weiterhin für das neu eingegrenzte Vordehnungs-Interaktionsdiagramm.
• Einführung eines neuen Maßstabes, wobei die Bereichsgrenze zwischen dem
S- und P-Bereich unverrückbar bleibt.
Abbildung 31 zeigt die graphische Konstruktionsanleitung zur Entwicklung des Ratche-
ting-Interaktionsdiagrammes unter Berücksichtigung einer Vordehnung im Stab 1:
0
0
1,0
1,0
2,0
1,0
1,0
σ
σσ
σ
σ
σσ
σ
0
1y
σ
σσ
σ
σ
σσ
σ
t
y1
σ
σ
0
1y
P
E
S
S
3
S
2
S
1
VP1
VP2
a
2a
E
E
t1
E
S
P
rein elastischer Bereich
plastisches Einspielen
elastisches Einspielen
VP1
verschieblicher Punkt 1:
•
verschiebt sich auf der Grenze
zwischen S und P
•
wird durch E
t1
/E beeinflusst und ver-
ändert die S
i
-Bereiche
VP2
verschieblicher Punkt 2:
• verschiebt sich auf der Diagonalen im
S-Bereich
•
wird duch a = f(
ε
0
/
ε
y
) beeinflusst
(a wird im Maßstab des Interaktions-
diagramms des Falles A
b
eingetragen)
a
y
y
=
==
=
+
++
+
ε
εε
ε
ε
εε
ε
ε
εε
ε ε
εε
ε
0
0
1
Abbildung 31: Entwicklung des Ratcheting-Interaktionsdiagrammes mit Vordehnung im Stab 1
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
39
Das Strukturverhalten des Zwei-Stab-Systems in den Bereichen E, S und P im Lastfall
A
b,Vord.
, gleicht dem Strukturverhalten in diesen Bereichen des Falles A
b
(siehe Ab-
schnitt 3.9.1.1.).
Die nachstehenden Diagramme geben einen Überblick über die Entwicklung der
elastisch-plastischen Dehnungen und der benötigten Zyklenzahl bis zum Einspielen bei
steigender Vordehnung. Dabei wurden der Verfestigungsparameter und der Bean-
spruchungsparameter der Primärspannung festgesetzt. Weiterhin sind die entstandenen
Ergebnisse zum Lastfall A
b
normiert worden. In Abbildung 32 ist zu erkennen, dass sich
die Dehnungen im Bereich des plastischen Einspielens ausgehend von den Dehnungen
des Lastfalles A
b
(ε
0
/ε
y
=0) proportional zur steigenden Vordehnung erhöhen. Da sich die
Bereiche unterhalb der Grenze des plastischen Einspielens verändern, sind auf den
ersten Blick keine Proportionalitäten in diesen Bereichen hinsichtlich der Dehnungs-
entwicklung auszumachen. Die Normierungen der elastisch-plastischen Dehnung zu der
des Falles A
b
geben weitere Zusammenhänge für die durch die Vordehnung verscho-
benen Bereiche. Abbildung 33 zeigt die Normierungen der durch die Vordehnung be-
einflussten Dehnungen zum Fall A
b
. In Abbildung 34 sind die bei dem in Abschnitt
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
epsv/epsy=0,0
epsv/epsy=0,2
epsv/epsy=0,6
epsv/epsy=1,0
epsv/epsy=1,4
Abbildung 32: elastisch-plastische Dehnungen im Stab 2 für verschiedene Vordehnungen im Stab1
im eingespielten Zustand am Zyklusende
ε
ε
Stab
el pl
y
2
. .−
σ
σ
t
y1
ε
0
/ ε
y
= 0,0
ε
0
/ ε
y
= 0,2
ε
0
/ ε
y
= 0,6
ε
0
/ ε
y
= 1,0
ε
0
/ ε
y
= 1,4
Bereich P
Bereiche E und S
i
E
E
t
y
1 0
1
0 1 0 5= =, ; ,
σ
σ
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
40
3.7.2. gewählten Abruchkriterium benötigten Zyklenzahlen zur Erreichung der Deh-
nungen der Abbildung 32 dargestellt. Abbildung 35 gibt Auskunft über die Entwicklung
der Zyklenzahlen bei unterschiedlicher Vordehnung in Bezug zum Fall A
b
.
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
epsv/epsy=0,0
epsv/epsy=0,2
epsv/epsy=0,6
epsv/epsy=1,0
epsv/epsy=1,4
Abbildung 33: Normierungen der Dehnungsentwicklung unterschiedlicher ε
εε
ε
0
zum Fall A
b
0
5
10
15
20
25
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
epsv/epsy=0,0
epsv/epsy=0,2
epsv/epsy=0,6
epsv/epsy=1,0
epsv/epsy=1,4
Abbildung 34: benötigte Zyklenzahlen bis zum Einspielen bei unterschiedlicher Vordehnung
σ
σ
t
y1
ε
0
/ ε
y
= 0,0
ε
0
/ ε
y
= 0,2
ε
0
/ ε
y
= 0,6
ε
0
/ ε
y
= 1,0
ε
0
/ ε
y
= 1,4
ε
0
/ ε
y
= 0,0
ε
0
/ ε
y
= 0,2
ε
0
/ ε
y
= 0,6
ε
0
/ ε
y
= 1,0
ε
0
/ ε
y
= 1,4
ε
ε
ε
ε
ε
ε
St
el pl
St
el pl
y
y
. ,
. .
. ,
. .
2
2 0
0
0
−
=
−
n
E
E
t
y
1 0
1
0 1 0 5= =, ; ,
σ
σ
Bereich P
Bereiche E und S
i
Maximum bei:
σ
σ
σ
σ
t
y y
= −1
0
1
?
Bereich P
Bereiche E und S
i
E
E
t
y
1 0
1
0 1 0 5= =, ; ,
σ
σ
Bereich S
3
:
erhöhte Zyklenzahl
σ
σ
t
y1
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
41
Wie schon aus Fall A
b
bekannt, ist zu erkennen, dass sich ein Maximum an benötigten
Zyklenzahlen zum Erreichen des Einspielzustandes im Bereich S
3
einstellt. Aus Ab-
bildung 35 ist zu entnehmen, dass sich die Zyklenzahlen bei steigender Vordehnung im
Stab 1 in Bezug zum Fall A
b
nicht erhöhen.
Die vorliegenden Untersuchungen zu der Dehnungs- und Zyklenentwicklung bei unter-
schiedlicher Vordehnung im Stab 1 wurden anhand einer feststehenden Parameter-
kombination von Primärspannung und Verfestigung durchgeführt. Die Erkenntnisse aus
dieser stichprobenartigen Untersuchung durch die Bereiche E, S
i
und P, können auf
Grund gleichartigen Strukturverhaltens in diesen Bereichen auch für andere Pri-
märspannungen und Verfestigungen gelten und auch für den hier untersuchten Bereich
S
1
da in diesem Bereich das selbe Dehnungsgesetz wie im Bereich P gilt.
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
epsv/epsy=0,0
epsv/epsy=0,2
epsv/epsy=0,6
epsv/epsy=1,0
epsv/epsy=1,4
Abbildung 35: Normierung der benötigten Zyklenzahlen zum Fall A
b
ε
0
/ ε
y
= 0,0
ε
0
/ ε
y
= 0,2
ε
0
/ ε
y
= 0,6
ε
0
/ ε
y
= 1,0
ε
0
/ ε
y
= 1,4
σ
σ
t
y1
n
n
y
y
ε
ε
ε
ε
0
0
0=
Bereich P
verschobene Bereiche E und S
i
E
E
t
y
1 0
1
0 1 0 5= =, ; ,
σ
σ
Nicht normierbarer Bereich,
da Division durch Null
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
42
3.9.1.3. Fall A
t
: trilineares Werkstoffverhalten
Wie schon in Abschnitt 3.3. dargestellt, soll nun ein wirklichkeitsnäheres Werkstoff-
modell den Untersuchungen zu Struktur-Ratcheting unterworfen werden. Das trilineare
Werkstoffmodell beinhaltet das bisher untersuchte bilinear kinematische Werkstoff-
verhalten. Zunächst soll die Gültigkeitsgrenze des bilinearen Werkstoffmodells im
Ratcheting-Interaktionsdiagramm für unterschiedliche Parameter der zweiten Fließgren-
ze gesucht werden. Die nachstehende Untersuchung beschäftigt sich daher mit der An-
näherung der zweiten Streckgrenze an die Elastizitätsgrenze. Abbildung 36 zeigt durch
nummerische Untersuchungen mit ANSYS gewonnene Ratcheting-Interaktionsdia-
gramme bei einer solchen Annäherung, wobei der Größenfaktor der 2. Fließgrenze zur
1. Fließgrenze sukzessiv verkleinert und innerhalb dieser Variation über die Beanspru-
chungsparameter interagiert wurde. Zur Überschaubarkeit wurden die Verfestigungs-
parameter mit unrealistischen Größen besetzt. Dies bringt nur Konsequenzen für die
Dehnungen und die bis zum Einspielen erforderlichen Zyklenzahlen mit sich, ist aber
für das Studium des Srukturverhaltens unter trilinearen Werkstoffverhalten vorteilhaft.
Folgende Materialparameter werden untersucht:
(
)
σ
σ
y
y
und
2
1
2 4 18 1 4 1 2 1 0= , , , , , , , ,
E
E
und
t1
0 4= ,
E
E
da E E
t
t t
2
2 1
0 2
1
2
= =, , (siehe Abschnitt 3.5.)
Die Belastungsparameter werden wie bisher unter Berücksichtigung einer konstanten
Primärspannung und einer zyklischen Sekundärspannung in ihren abgesteckten Grenzen
variiert. In Abbildung 36 ist zu erkennen, wie sich die Grenze zwischen dem bilinear
kinematischen Werkstoffverhalten und dem Bereich des trilinearen Einflusses bei klei-
ner werdendem Abstand der Streckgrenzen in Richtung des verfestigungsunabhängigen
Elastizitätsbereiches vorschiebt. Aus der in Abbildung 36 durchgeführten Untersuchung
lässt sich das in Abbildung 37 dargestellte Ratcheting-Interaktions-diagramm für
trilineares Werkstoffverhalten im Zwei-Stab-System entwickeln. Dieses Interaktions-
diagramm beinhaltet alle Strukturverhaltensbereiche die für das trilineare Werkstoff-
verhalten in diesem System möglich sind.
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
43
σ
σ
t
y1
2,0
1,0
1,0
σ
σ
0
1y
0
0
σ
σ
t
y1
2,0
1,0
1,0
σ
σ
0
1y
0
0
σ
σ
t
y1
2,0
1,0
1,0
σ
σ
0
1y
0
0
σ
σ
t
y1
2,0
1,0
1,0
σ
σ
0
1y
0
0
σ
σ
t
y1
2,0
1,0
1,0
σ
σ
0
1y
0
0
P
b
10,0
9,0
8,0
7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
10,0
9,0
8,0
7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
10,0
9,0
8,0
7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
10,0
9,0
8,0
7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
10,0
9,0
8,0
7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
σ
σ
y
y
2
1
2 4= ,
σ
σ
y
y
2
1
1 0= ,
σ
σ
y
y
2
1
1 2= ,
σ
σ
y
y
2
1
1 4= ,
σ
σ
y
y
2
1
18= ,
E
E
E
E
t t2 1
E
E
E
E
t t2 1
E
E
t2
E
E
E
E
t t2 1
E
E
E
E
t t2 1
2
1
2
1
2
+
−
E
E
y
y
t
σ
σ
2
1
2
1
2
+
−
E
E
y
y
t
σ
σ
2
1
2
1
2
+
−
E
E
y
y
t
σ
σ
2
1
2
1
2
+
−
E
E
y
y
t
σ
σ
2
2
E
E
t
2
2
E
E
t
2
2
E
E
t
2
2
E
E
t
2
2
E
E
t
P
b
E EEEE
S
b
S
b
S
b
S
b
( )
σ
σ
y
y
und
2
1
2 4 18 1 4 1 2 0 0= , , , , , , , ,
E
E
und
t1
0 4= ,
E
E
t2
0 2= ,
variable Materialparameter: Zeichenerklärung:
E
Grenze zwischen bilinearem Werkstoff-
verhalten und dem Gebiet des trilinearen
Einflusses
rein elastischer Bereich (unabhängig)
plastisches Einspielen des bil. WV
elastisches Einspielen des bil. WV
verschiebliche Punkte
P
b
S
b
S
b
Abbildung 36: Bereiche unterschiedlichen Strukturverhaltens bei Annährung der zweiten
Streckgrenze an die Elastizitätsgrenze im trilinearen Werkstoffverhalten
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
44
3,0
2,0
1,0
1,0
0
0
σ
σσ
σ
σ
σσ
σ
0
1y
σ
σσ
σ
σ
σσ
σ
t
y1
E
E
t2
E
E
t1
σ
σ
σ
σ
t
y
y
y
t
E
E
1
2
1
2
2
1
= +
−
E
P
t
S
t
S
b
S
bt3
S
b2
S
t2
S
b3
S
b1
S
t1
S
bt1
S
t3
P
t2
P
t1
P
t4
Grenze zw. bilinearem
Werkstoffverhalten und
dem Gebiet des
trilinearen Einflusses
Übergangsbereiche
P
t3
Abbildung 37: Ratcheting-Interaktionsdiagramm für trilineares Werkstoffverhalten
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
45
Die in Abbildung 37 bezeichneten Bereiche können wie folgt charakterisiert werden:
Strukturverhalten des Systems im rein bilinearen Bereich:
Die Strukturverhalten der Bereiche S
b1
, S
b2
, S
b3
und P
b
(sofern vorhanden) sind
identisch mit den in Abschnitt 3.9.1.1. (Fall A
b
) vorgestellten Bereichen S
1
, S
2
,
S
3
und P.
Strukturverhalten des Systems im trilinearen Einflussbereich:
elastisches Einspielen in den Übergangsbereichen:
(In den Übergangsbereichen erhält ein Stab keine plastischen Dehnungen im
Verfestigungsbereich 2)
• Bereich S
bt1
:
Stab 1 erhält im 1. Halbzyklus einmalig plastische Druckdehnung
im Verfestigungsbereich 1 und verhält sich danach nur noch
elastisch.
Stab 2 erhält im 1. Halbzyklus einmalig plastische Zugdehnung
im Verfestigungsbereich 2 und verhält sich danach nur noch
elastisch.
Nach dem 1. Halbzyklus treten für beide Stäbe keine Deh-
nungszuwächse mehr auf.
• Bereich S
bt3
:
Stab 1 erhält in jedem geraden Halbzyklus plastische
Zugdehnungen im Verfestigungsbereich 1
Stab 2 erhält in jedem ungeraden Halbzyklus plastische
Zugdehnungen im Verfestigungsbereich 2
Die akkumulierten plastischen Zugdehnungen werden von
mal zu mal kleiner und gehen nach unendlich vielen Zyklen
gegen Null. Nach dem Einspielen bleibt nur noch elastisches
Verhalten übrig. Der Bereich S
bt3
stellt somit einen der finiten
Ratcheting-Bereiche mit der Eigenschaft des „elastischen
Einspielens“.
• Zwischen den Bereichen S
b2
und S
t2
gibt es keinen Übergangsbereich
elastische Einspielbereiche, wenn sich beide Stäbe im Verfestigungsbereich 2
befinden:
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
46
• Bereich S
t1
:
gleiches Strukturverhalten wie in Bereich S
bt1
mit dem Unter-
schied, dass Stab 1 im 1. Halbzyklus einmalig plastische Druck-
dehnung im Verfestigungsbereich 2 erhält.
• Bereich S
t2
:
Stab 1 bleibt immer elastisch.
Stab 2 erhält im 1. Halbzyklus einmalig plastische Zugdehnung.
Nach dem 1. Halbzyklus verhält sich die Gesamtstruktur elas-
tisch und bringt keine Dehnungszuwächse hervor.
• Bereich S
t3
:
Stab 1 erhält in jedem geraden Halbzyklus und Stab 2 in jedem
ungeraden Halbzyklus plastische Zugdehnungen im Verfesti-
gungsbereich 2.
Hinsichtlich der akkumulierten plastischen Zugdehnungen gilt
das gleiche wie im Bereich S
bt3
.
Der Bereich S
t3
ist somit ein weiterer finiter Ratchetingbereich
mit der Eigenschaft des „elastischen Einspielens“.
plastisches Einspielen:
• Bereich P
1
:
Im 1. Halbzyklus erhalten Stab 1 plastische Druckdehnung und
Stab 2 plastische Zugdehnung einmalig im Verfestigungs-
bereich 2
In den weiteren Halbzyklen erhalten beide Stäbe nur noch
plastische Dehnungen im Verfestigungsbereich 1 abwechselnd
im Zug- und im Druckbereich.
Nach dem 1. Halbzyklus ist das System „plastisch eingespielt“
und bringt keine Dehnungszuwächse hervor.
• Bereich P
2
:
Beide Stäbe erhalten abwechselnd im Zug- und Druckbereich
plastische Dehnungen im Verfestigungsbereich 1, wobei der
H. Huhn / Diplomarbeit / „Lastfallstudien am Zwei-Stab-System nach exakter FZT“
47
Stab 2 im 1. Halbzyklus einmalig im Verfestigungsbereich 2
des Zugbereiches plastiziert.
Nach dem 1. Halbzyklus ist das System „plastisch eingespielt“
und bringt keine Dehnungszuwächse hervor.
• Bereich P
3
:
Stab 1 erhält in jedem geraden Halbzyklus plastische Zugdeh-
nung im Verfestigungsbereich 2. In den ungeraden Halbzyklen
herrscht anfänglich elastisches Verhalten.
Stab 2 erhält in jedem ungeraden Halbzyklus plastische
Zugdehnung im Verfestigungsbereich 2. In den geraden Halb-
zyklen zeigt sich gleichfalls anfänglich elastisches Verhalten.
Die dabei auftretenden immer kleiner werdenden Dehnungszu-
wächse führen das übriggebliebene elastische Materialverhalten
über ihre elastische Grenze. Ist dies erreicht, erhalten Stab 1 in
den ungeraden Halbzyklen und Stab 2 in den geraden Halbzyklen
plastische Druckdehnungen im Verfestigungsbereich 1. Das
System ist „plastisch eingespielt“, wenn nur noch plastische
Dehnungen abwechselnd im Zug- und Druckbereich des Ver-
festigungsbereiches 1 auftreten. Der Bereich P
3
ist damit ein
Bereich des finiten Ratcheting mit der Eigenschaft des „plas-
tischen Einspielens“.
• Bereich P
4
:
In der eingespielten Hysterese erhalten beide Stäbe plastische
Dehnungen abwechselnd im Zug- und Druckbereich des Ver-
festigungsbereiches 2.
Im 1. Halbzyklus kann der Stab 1 im 1. oder 2. Verfes-
tigungsbereich im Druckbereich plastizieren oder elastisches
Verhalten aufweisen.
Im 2. Halbzyklus kann der Stab 2 im 1. oder 2. Verfesti-
gungsbereich im Druckbereich plastizieren. Das System ist nach
dem 1. oder 3. Halbzyklus „plastisch eingespielt“.